[答1630] 最大容積の箱
図のように、長方形の４隅から正方形を切り取って蓋のない箱を作ります。
この箱の容積の最大値が 19600/27 で、１辺が 10/3 の正方形を切り取ったときでした。
このとき、もとの長方形の縦横の長さは？
[解答]
長方形の縦横の長さを a，b ，正方形の一辺を x ，箱の容積を V(x) とします。
ここで、0＜x＜min{a/2，b/2} です。
V(x)＝(a－2x)(b－2x)x＝4x3－2(a＋b)x2＋abx 、
V(10/3)＝(a－20/3)(b－20/3)･10/3＝19600/27 だから、(3a－20)(3b－20)＝1960 、
9ab－60a－60b＋400＝1960 、3ab－20(a＋b)＝520 ……(1) です。
V'(x)＝12x2－4(a＋b)x＋ab 、
V'(10/3)＝12(10/3)2－4(a＋b)･10/3＋ab＝0 が必要で、
400/3－40(a＋b)/3＋ab＝0 、3ab－40(a＋b)＝－400 ……(2) です。
(1)(2)より、a＋b＝46 ，ab＝480 になり、
V'(x)＝12x2－184x＋480＝4(3x2－46x＋120)＝4(3x－10)(x－12) であり、
a，b は t2－46t＋480＝0 の解で、(t－16)(t－30)＝0 、t＝16，30 だから、
{a，b}＝{16，30} 、min{a/2，b/2}＝8 、0＜x＜8 です。
0＜x＜10/3 のとき V'(x)＞0 ，10/3＜x＜8 のとき V'(x)＜0 だから x＝10/3 で V(x)は最大です。
よって、長方形の縦横の長さは 16，30 です。
.
