[答1544] 三角形の３分割
∠C＝90ﾟ の 直角三角形ABCの ∠Cの３等分線と辺ABの交点をAに近い方からD，Eとします。
△CAD＝17 ，△CEB＝27 のとき、△CDE＝？
[解答1]
CA＝a ，CB＝b 、座標平面上で C(0，0)，A(a，0)，B(b，0)，D(d√3，d)，E(e，e√3) とすれば、
△CAD＝17＝ad/2 ，△CEB＝27＝be/2 で、直線ABは x/a＋y/b＝1 、bx＋ay＝ab であり、
Dが直線AB上にあるので、
bd√3＋ad＝ab 、d(b√3＋a)＝ab 、(ad/2)(b√3＋a)＝a(ab/2) 、17(b√3＋a)＝a(ab/2) 、
Eが直線AB上にあるので、
be＋ae√3＝ab 、e(b＋a√3)＝ab 、(be/2)(b＋a√3)＝b(ab/2) 、27(b＋a√3)＝b(ab/2) になり、
ab(ab/2)＝17b(b√3＋a)＝27a(b＋a√3) だから、b＝ak とおけば、17ak(ak√3＋a)＝27a(ak＋a√3) 、
17k(k√3＋1)＝27(k＋√3) 、(17√3)k2－10k－27√3＝0 、k＝(5＋√1402)/(17√3) です。
a(ab/2)＝17(b√3＋a)＝17(ak√3＋a) より、ab/2＝17(k√3＋1) 、ab/2－17＝(17√3)k 、
△CDE＝ab/2－17－27＝(17√3)k－27＝5＋√1402－27＝√1402－22＝15．44329…… です。
[解答2]
△CAD＝(1/2)CA･CDsin30ﾟ＝CA･CD/4 ，△CEB＝(1/2)CB･CEsin30ﾟ＝CB･CE/4 ，
△CDE＝(1/2)CD･CEsin30ﾟ＝CD･CE/4 ，△CAB＝(1/2)CA･CB＝CA･CB/2 だから、
△CDE･△CAB＝2△CAD･△CEB です。
△CDE＝S とすれば、S(S＋17＋27)＝2･17･27 、(S＋22)2＝2･17･27＋222 、
(S＋22)2＝1402 、S＋22＝√1402 、S＝√1402－22＝15．44329…… です。
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