[答1473] 三角形の回転
BC＋CA＋AB＝L である△ABCの辺BCを回転軸とする回転体の体積の最大値が 100π/3 のとき、
定数 L の値は？
[解答]
Aから回転軸BCにおろした垂線をAHとし、
Hが線分BCの Bに近い延長上にあるとき BH＜0 ， Cに近い延長上にあるとき CH＜0 と考えると、
回転体の体積を V とすれば、V＝(1/3)πAH2･BH＋(1/3)πAH2･CH＝(1/3)πAH2･BC です。
よって、BCを固定すると体積が最大になるのは、AHが最大のときです。
次に、AB＋AC＝L－BC＞BC だから、BC＜L/2 です。
BC＜L/2 であるように、BCが決まれば、Aは B，Cが焦点で 長軸が L－BC である楕円上にあります。
よって、AHの最大値はその短軸の長さで、そのとき、AH2＝(L/2－BC/2)2－(BC/2)2＝(L/2)(L/2－BC) 、
V＝(1/3)πAH2･BC＝(1/3)π(L/2)(L/2－BC)BC です。
これはBCの２次関数で、BC＝L/4 のとき最大になり、V＝(1/3)π(L/2)(L/4)2 です。
よって、(1/3)π(L/2)(L/4)2＝100π/3 、(L/2)(L/4)2＝100 、L3＝3200＝43･50 、
L＝4･3√50＝14．7361…… です。
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