[答1444] 三角形の面積の最大値
130＜x＜361 のとき、AB＝19 ，BC＝√x ，CA＝2√(361－x) である△ABCの面積の最大値は？
[解答1]
△ABC＝S とすれば、ヘロンの公式により、
16S2＝(AB＋BC＋CA)(AB＋BC－CA)(AB－BC＋CA)(－AB＋BC＋CA)
＝{(AB＋BC)2－CA2}{CA2－(AB－BC)2}＝－CA4＋2(AB2＋BC2)CA2－(AB2－BC2)2
＝－16(361－x)2＋8(361＋x)(361－x)－(361－x)2
＝(361－x){－16(361－x)＋8(361＋x)－(361－x)}
＝(361－x)(25x－9･361)＝－25(x－361)(x－9･361/25)
であるので、x＝(361＋9･361/25)/2＝17･361/25 のとき最大になり、そのとき、
16S2＝－25(17･361/25－361)(17･361/25－9･361/25)＝－25(－8･361/25)(8･361/25)＝(8･361/5)2 、
4S＝8･361/5 、S＝722/5＝144．4 です。
[解答2]
XY平面で A(0，19)，B(0，0)，C(X，Y) とおけば、
BC2＋AC2/4＝x＋361－x＝361 、4BC2＋AC2＝1444 であるので、
4(X2＋Y2)＋X2＋(Y－19)2＝1444 、5X2＋5Y2－38Y＝1083 、X2＋Y2－38Y/5＋361/25＝1083/5＋361/25 、
X2＋(Y－19/5)2＝5776/25 、Cはこの円周上にあります。
Y軸から一番離れた C(±76/5，19/5) のとき △ABCは最大になり、
△ABC＝19(76/5)/2＝722/5＝144．4 です。
なお、このとき x＝BC2＝(±76/5)2＋(19/5)2＝6137/25 です。
[解答3]
BC2＋AC2/4＝x＋361－x＝361＝AB2 であり、
∠BAC＝θ とおけば、BC2＝AC2＋AB2－2･AB･ACcosθ 、
BC2＋AC2/4－AB2＝5AC2/4－2･AB･ACcosθ 、
0＝5AC2/4－2･19･ACcosθ 、5AC/4＝38cosθ 、AC＝(152/5)cosθ 、
△ABC＝(1/2)AB･ACsinθ＝(19/2)(152/5)cosθsinθ＝(722/5)sin2θ になり、
θ＝∠BAC＝45ﾟ のとき、△ABCの最大値は 722/5＝144．4 です。
なお、このとき AC＝(76√2)/5＝2√(2888/25)＝2√(361－6137/25) 、x＝6137/25 です。
[解答4]
AB2＋AC2－BC2＝361＋4(361－x)＋x＝5･361－3x＞0 より ∠BAC＜90ﾟ です。
AB＝19 ，BD＝5√x ，DA＝76 の △ABDにおいて、∠BADの二等分線とBDの交点をEとすれば、
BE＝√x ，ED＝4√x ，AE＝√(AB･AD－BE･BD)＝√(19･76－4x)＝2√(361－x) だから、
△ABC≡△ABE であり、△ABC＝△ABE＝△ABD/5 、△ABDは ∠BAD＝90ﾟ のときに最大で、
このとき、△ABD＝19･76/2＝722 、△ABC＝△ABD/5＝722/5＝144．4 です。
なお、このときのｘの値は (5√x)2＝192＋762 、x＝6137/25 です。
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