フェルマーの最終定理のよくある簡易的証明をご紹介します。
X^n + Y^n = Z^nで、 X,Y,Zが互いに素、ｎ≧３が素数の自然数として 矛盾を導きます。
流れは、次の[1][2][3][4][5][6]です。
[1] E=X+Y-Z と X=A+E, Y＝B+E, Z=C+E から
⇒ A+B=C, n｜E, n*A*B｜E^n になります。
[2] E'=Z+(-Y)-X と Z=C'+E', (-Y)＝B'+E', X=A'+E' から
⇒ C'+B'=A', n｜E', n*C'*B'｜E'^n になります。
[3] E"=Z+(-X)-Yと Z=C"+E", (-X)=A"+E", Y＝B"+E" から
⇒ C"+A"=B", n｜E", n*C"*A"｜E"^n になります。
[4] E'"=(-Z)+Y-(-X) と (-Z)=C'"+E'", Y＝B'"+E'", (-X)=A'"+E'" から
⇒ C'"+B'"=A'", n｜E'", n*C'"*B'"｜E'"^n になります。
[5] E""=(-Z)+X-(-Y) と (-Z)=C""+E""、X=A""+E""、(-Y)＝B""+E"" から
⇒ C""+A""=B"", n｜E"", n*C""*A""｜E""^n になります。
A,B,CおよびA',B',C'およびA",B",C"およびA'",B'",C'"およびA"",B"",C""で、それぞれ
(E^n)/n, (E'^n)/n, (E"^n)/n, (E'"^n)/n, (E""^n)/n が割り切れることから、
n∤X*Y*Zを導きます。
[6] n∤X*Y*Zから A=a^n, B=b^n, C=c^nと A+B=C より
⇒ a^n＋b^n＝c^n になって、 E＝0と X+Y=Z で、矛盾します。
次に、流れを順次ご説明します。
[1] E=X+Y-Z と X=A+E, Y＝B+E, Z=C+E から
⇒ A+B=C, n｜E, n*A*B｜E^n のご説明
E＝X+Y-Zとして、 X=A+E、Y＝B+E、Z=C+Eと置くと、 A+B=Cになります。
なぜなら、
E-Y=X-Z=-B
E-X=Y-Z=-A
E-Z=(X-Z)+(Y-Z)=-C
だから、A+B=Cになります。
(A+E)^n + (B+E)^n = (C+E)^nなので、
A^n+Σ[k=1,n-1]nCk*A^k*E^(n-k)+E^n+
B^n+Σ[k=1,n-1]nCk*B^k*E^(n-k)+E^n=
C^n+Σ[k=1,n-1]nCk*C^k*E^(n-k)+E^n
E^n=
{C^n-A^n-B^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{C^k-A^k-B^k}*E^(n-k)
C=A+Bを代入すると、
E^n=
{(A+B)^n-A^n-B^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{(A+B)^k-A^k-B^k}*E^(n-k)
E^n=
Σ[k=1,n-1]nCk*A^k*B^(n-k)+
Σ[k=2,n-1]nCk*{Σ[m=1,k-1]nCm*A^m*B^(k-m)}*E^(n-k)
右辺の各項は、nCk*A*Bを含み、n｜nCkだからn*A*B｜E^n
nは3以上の素数なので、n｜E, rad(A)｜E, rad(B)｜E
右辺の各項と左辺の各項を、n*Aで割ると、
E^n/(n*A)=
{(E^n)/n}/A=
B^(n-1)+{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*A^(k-1)*B^(n-k)}+
Σ[k=2,n-1]B*(nCk/n)*{Σ[m=1,k-1]kCm*A^(m-1)*B^(k-m-1)}*E^(n-k)
もし、
{(E^n)/n}/AにAの素因数が残っていれば、
rad(A)｜Eで、
A|{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*A^(k-1)*B^(n-k)}だから、
B^(n-1)もAの素因数を持ちます。
AとBは互いに素だから、これは矛盾します。
なので、
{(E^n)/n}/AにAの素因数は残っていません。
いいかえれば、
{(E^n)/n}は、ちょうどAで割り切れることになります。
同様に、右辺の各項と左辺の各項を、n*Bで割ると、
E^n/(n*B)=
{(E^n)/n}/B=
A^(n-1)+{Σ[k=1,n-2](nCk/n)*A^k*B^(n-k-1)}+
Σ[k=2,n-1]A*(nCk/n)*{Σ[m=1,k-1]kCm*A^(m-1)*B^(k-m-1)}*E^(n-k)
もし、
{(E^n)/n}/BにBの素因数が残っていれば、
rad(B)｜Eで、
B|{Σ[k=1,n-2](nCk/n)*A^k*B^(n-k-1)}だから、
A^(n-1)もBの素因数を持ちます。
AとBは互いに素だから、これは矛盾です。
なので、
{(E^n)/n}/BにBの素因数は残っていません。
いいかえれば、
(E^n/n)は、ちょうどBで割り切れることになります。
[2] E'=Z+(-Y)-X と Z=C'+E', (-Y)＝B'+E', X=A'+E' から
⇒ C'+B'=A', n｜E', n*C'*B'｜E'^n のご説明
E'＝Z+(-Y)-Xとして、 Z=C'+E'、(-Y)＝B'+E'、X=A'+E'と置くと、 C'+B'=A'になります。
なぜなら、
E'-Z=(-Y)-X=-C'
E'+Y=Z-X=-B'
E'-X=(Z-X)+((-Y)-X)=-A'
だから、-C'-B'=-A'になります。
Z^n+(-Y)^n=X^nなので、
(C'+E')^n+(B'+E')^n=(A'+E')^n
C'^n+Σ[k=1,n-1]nCk*C'^k*E'^(n-k)+E'^n+
B'^n-Σ[k=1,n-1]nCk*B'^k*E'^(n-k)-E'^n=
A'^n+Σ[k=1,n-1]nCk*A'^k*E'^(n-k)+E'^n
E'^n=
{A'^n-C'^n-B'^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{A'^k-C'^k-B'^k}*E'^(n-k)
A'=C'+B'を代入すると、
E'^n=
{(C'+B')^n-C'^n-B'^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{(C'+B')^k-C'^k-B'^k}*E'^(n-k)
E'^n=
Σ[k=1,n-1]nCk*C'^k*B'^(n-k)+
Σ[k=2,n-1]nCk*{Σ[m=1,k-1]nCm*C'^m*B'^(k-m)}*E'^(n-k)
右辺の各項は、nCk*C'*B'を含み、n｜nCkだからn*C'*B'｜E'^n
nは3以上の素数なので、n｜E', rad(C')｜E', rad(B')｜E'
右辺の各項と左辺の各項を、n*C'で割ると、
E'^n/(n*C')=
{(E'^n)/n}/C'=
B'^(n-1)+{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*C'^(k-1)*B'^(n-k)}+
Σ[k=2,n-1]B'*(nCk/n)*{Σ[m=1,k-1]kCm*C'^(m-1)*B'^(k-m-1)}*E'^(n-k)
もし、
{(E'^n)/n}/C'にC'の素因数が残っていれば、
rad(C')｜E'で、
C'|{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*C'^(k-1)*B'^(n-k)}だから、
B'^(n-1)もC'の素因数を持ちます。
C'とB'は互いに素だから、これは矛盾します。
なので、
{(E'^n)/n}/C'にC'の素因数は残っていません。
いいかえれば、
{(E'^n)/n}は、ちょうどC'で割り切れることになります。
同様に、右辺の各項と左辺の各項を、n*B'で割ると、
E'^n/(n*B')=
{(E'^n)/n}/B'=
C'^(n-1)+{Σ[k=1,n-2](nCk/n)*C'^k*B'^(n-k-1)}+
Σ[k=2,n-1]C'*(nCk/n)*{Σ[m=1,k-1]kCm*C'^(m-1)*B'^(k-m-1)}*E'^(n-k)
もし、
{(E'^n)/n}/B'にB'の素因数が残っていれば、
rad(B')｜E'で、
B'|{Σ[k=1,n-2](nCk/n)*C'^k*B'^(n-k-1)}だから、
C'^(n-1)もB'の素因数を持ちます。
C'とB'は互いに素だから、これは矛盾です。
なので、
{(E'^n)/n}/B'にB'の素因数は残っていません。
いいかえれば、
{(E'^n)/n}は、ちょうどB'で割り切れることになります。
[3] E"=Z+(-X)-Yと Z=C"+E", (-X)=A"+E", Y＝B"+E" から
⇒ C"+A"=B", n｜E", n*C"*A"｜E"^n のご説明
E"＝Z+(-X)-Yとして、 Z=C"+E"、(-X)=A"+E"、Y＝B"+E"と置くと、C"+A"=B"になります。
なぜなら、
E"-Z=(-X)-Y=-C"
E"+X=Z-Y=-A"
E"-Y=(Z-Y)+((-X)-Y)=-B"
だから、C"+A"=B"になります。
Z^n+(-X)^n=Y^nなので、
(C"+E")^n+(A"+E")^n=(B"+E")^n
C"^n+Σ[k=1,n-1]nCk*C"^k*E"^(n-k)+E"^n+
A"^n+Σ[k=1,n-1]nCk*A"^k*E"^(n-k)+E"^n=
B"^n+Σ[k=1,n-1]nCk*B"^k*E"^(n-k)+E"^n
E"^n=
{B"^n-C"^n-A"^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{B"^k-C"^k-A"^k}*E"^(n-k)
B"=C"+A"を代入すると、
E"^n=
{(C"+A")^n-C"^n-A"^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{(C"+A")^k-C"^k-A"^k}*E"^(n-k)
E"^n=
Σ[k=1,n-1]nCk*C"^k*A"^(n-k)+
Σ[k=2,n-1]nCk*{Σ[m=1,k-1]nCm*C"^m*A"^(k-m)}*E"^(n-k)
右辺の各項は、nCk*C"*A"を含み、n｜nCkだからn*C"*A"｜E"^n
nは3以上の素数なので、n｜E", rad(C")｜E", rad(A")｜E"
右辺の各項と左辺の各項を、n*C"で割ると、
E"^n/(n*C")=
{(E"^n)/n}/C"=
A"^(n-1)+{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*C"^(k-1)*A"^(n-k)}+
Σ[k=2,n-1]A"*(nCk/n)*{Σ[m=1,k-1]kCm*C"^(m-1)*A"^(k-m-1)}*E"^(n-k)
もし、
{(E"^n)/n}/C"にC"の素因数が残っていれば、
rad(C")｜E"で、
C"|{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*C"^(k-1)*A"^(n-k)}だから、
A"^(n-1)もC"の素因数を持ちます。
C"とA"は互いに素だから、これは矛盾します。
なので、
{(E"^n)/n}/C"にC"の素因数は残っていません。
いいかえれば、
{(E"^n)/n}は、ちょうどC"で割り切れることになります。
同様に、右辺の各項と左辺の各項を、n*A"で割ると、
E"^n/(n*A")=
{(E"^n)/n}/A"=
C"^(n-1)+{Σ[k=1,n-2](nCk/n)*C"^k*A"^(n-k-1)}+
Σ[k=2,n-1]C"*(nCk/n)*{Σ[m=1,k-1]kCm*C"^(m-1)*A"^(k-m-1)}*E"^(n-k)
もし、
{(E"^n)/n}/A"にA"の素因数が残っていれば、
rad(A")｜E"で、
A"|{Σ[k=1,n-2](nCk/n)*C"^k*A"^(n-k-1)}だから、
C"^(n-1)もA"の素因数を持ちます。
C"とA"は互いに素だから、これは矛盾です。
なので、
{(E"^n)/n}/A"にA"の素因数は残っていません。
いいかえれば、
{(E"^n)/n}は、ちょうどA"で割り切れることになります。
[4] E'"=(-Z)+Y-(-X) と (-Z)=C'"+E'", Y＝B'"+E'", (-X)=A'"+E'" から
⇒ C'"+B'"=A'", n｜E'", n*C'"*B'"｜E'"^n のご説明
E'"=(-Z)+Y-(-X)として、 (-Z)=C'"+E'", Y＝B'"+E'", (-X)=A'"+E'" 'と置くと、
C'"+B'"=A'"になります。
なぜなら、
E'"-(-Z)=Y-(-X)=-C'"
E'"-Y=(-Z)-(-X)=-B'"
E'"-(-X)=(-Z)-(-X)+(Y-(-X))=-A'"
だから、-C'"-B'"=-A'"になります。
(-Z)^n+Y^n=(-X)^nなので、
(C'"+E'")^n+(B'"+E'")^n=(A'"+E'")^n
C'"^n+Σ[k=1,n-1]nCk*C'"^k*E'"^(n-k)+E'"^n+
B'"^n+Σ[k=1,n-1]nCk*B'"^k*E'"^(n-k)+E'"^n=
A'"^n+Σ[k=1,n-1]nCk*A'"^k*E'"^(n-k)+E'"^n
E'^n=
{A'"^n-C'"^n-B'"^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{A'"^k-C'"^k-B'"^k}*E'"^(n-k)
A'"=C'"+B'"を代入すると、
E'"^n=
{(C'"+B'")^n-C'"^n-B'"^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{(C'"+B'")^k-C'"^k-B'"^k}*E'"^(n-k)
E'"^n=
Σ[k=1,n-1]nCk*C'"^k*B'"^(n-k)+
Σ[k=2,n-1]nCk*{Σ[m=1,k-1]nCm*C'"^m*B'"^(k-m)}*E'"^(n-k)
右辺の各項は、nCk*C'"*B'"を含み、n｜nCkだからn*C'"*B'"｜E'"^n
nは3以上の素数なので、n｜E'", rad(C'")｜E', rad(B'")｜E'"
右辺の各項と左辺の各項を、n*C'"で割ると、
E'"^n/(n*C'")=
{(E'"^n)/n}/C'"=
B'"^(n-1)+{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*C'"^(k-1)*B'"^(n-k)}+
Σ[k=2,n-1]B'"*(nCk/n)*{Σ[m=1,k-1]kCm*C'"^(m-1)*B'"^(k-m-1)}*E'"^(n-k)
もし、
{(E'"^n)/n}/C'"にC'"の素因数が残っていれば、
rad(C'")｜E'"で、
C'"|{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*C'"^(k-1)*B'"^(n-k)}だから、
B'"^(n-1)もC'"の素因数を持ちます。
C'"とB'"は互いに素だから、これは矛盾します。
なので、
{(E'"^n)/n}/C'"にC'"の素因数は残っていません。
いいかえれば、
{(E'"^n)/n}は、ちょうどC'"で割り切れることになります。
同様に、右辺の各項と左辺の各項を、n*B'"で割ると、
E'"^n/(n*B'")=
{(E'"^n)/n}/B'"=
C'"^(n-1)+{Σ[k=1,n-2](nCk/n)*C'"^k*B'"^(n-k-1)}+
Σ[k=2,n-1]C'"*(nCk/n)*{Σ[m=1,k-1]kCm*C'"^(m-1)*B'"^(k-m-1)}*E'"^(n-k)
もし、
{(E'"^n)/n}/B'"にB'"の素因数が残っていれば、
rad(B'")｜E'"で、
B'"|{Σ[k=1,n-2](nCk/n)*C'"^k*B'"^(n-k-1)}だから、
C'"^(n-1)もB'"の素因数を持ちます。
C'"とB'"は互いに素だから、これは矛盾です。
なので、
{(E'"^n)/n}/B'"にB'"の素因数は残っていません。
いいかえれば、
{(E'"^n)/n}は、ちょうどB'"で割り切れることになります。
[5] E""=(-Z)+X-(-Y) と (-Z)=C""+E""、X=A""+E""、(-Y)＝B""+E"" から
⇒ C""+A""=B"", n｜E"", n*C""*A""｜E""^n のご説明
E""=(-Z)+X-(-Y)として、 (-Z)=C""+E""、X=A""+E""、(-Y)＝B""+E""と置くと、
C""+A""=B""になります。
なぜなら、
E""-(-Z)=X-(-Y)=-C""
E""-X=(-Z)-(-Y)=-A""
E"-(-Y)=(X-(-Y))+((-Z)-(-Y))=-B""
だから、C""+A""=B""になります。
(-Z)^n+X^n=(-Y)^nなので、
(C""+E"")^n+(A""+E"")^n=(B""+E"")^n
C""^n+Σ[k=1,n-1]nCk*C""^k*E""^(n-k)+E""^n+
A""^n+Σ[k=1,n-1]nCk*A""^k*E""^(n-k)+E""^n=
B""^n+Σ[k=1,n-1]nCk*B""^k*E""^(n-k)+E""^n
E""^n=
{B""^n-C""^n-A""^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{B""^k-C""^k-A""^k}*E""^(n-k)
B""=C""+A""を代入すると、
E""^n=
{(C""+A")^n-C""^n-A""^n}+
Σ[k=1,n-1]nCk*{(C""+A"")^k-C""^k-A""^k}*E""^(n-k)
E""^n=
Σ[k=1,n-1]nCk*C""^k*A""^(n-k)+
Σ[k=2,n-1]nCk*{Σ[m=1,k-1]nCm*C""^m*A""^(k-m)}*E""^(n-k)
右辺の各項は、nCk*C""*A""を含み、n｜nCkだからn*C""*A""｜E""^n
nは3以上の素数なので、n｜E"", rad(C"")｜E"", rad(A"")｜E""
右辺の各項と左辺の各項を、n*C""で割ると、
E""^n/(n*C"")=
{(E""^n)/n}/C""=
A""^(n-1)+{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*C""^(k-1)*A""^(n-k)}+
Σ[k=2,n-1]A""*(nCk/n)*{Σ[m=1,k-1]kCm*C""^(m-1)*A""^(k-m-1)}*E""^(n-k)
もし、
{(E""^n)/n}/C""にC""の素因数が残っていれば、
rad(C"")｜E""で、
C""|{Σ[k=2,n-1](nCk/n)*C""^(k-1)*A""^(n-k)}だから、
A""^(n-1)もC""の素因数を持ちます。
C""とA""は互いに素だから、これは矛盾します。
なので、
{(E""^n)/n}/C""にC""の素因数は残っていません。
いいかえれば、
{(E""^n)/n}は、ちょうどC""で割り切れることになります。
このように、
(E^n)/n, (E'^n)/n, (E"^n)/n, (E'"^n)/n, (E""^n)/n が、
それぞれ、A,B,CおよびA',B',C'およびA",B",C"および
A'",B'",C'"およびA"",B"",C""で、割り切れることから、
次のようにして、n∤X*Y*Zを導きます。
####################
※n∤X*Y*Zのご説明
####################
[1][2][3][4][5]より、
E=X+Y-Z
E'=Z+(-Y)-X
E"=Z+(-X)-Y
E'"=(-Z)+Y-(-X)
E""=(-Z)+X-(-Y)
なので、
E'+E'"= { Z + (-Y) -X }+ { (-Z) + Y - (-X) }=0
E"+E""= { Z+ (-X) -Y }+ (-Z) + X - (-Y) =0
E'=-E'"
E"=-E""
E'"=E""=E
(-Y)=B'+E', Y=B'"+E'"より、B’=-B'"=-B
(-X)=A"+E", X=A""+E""より、A"=-A""=-A
Z=C"+E", (-Z)=C'"+E'"より、C'"=-C"=-C
間違い
また、
X=A+E=A'+E'
Y=B+E=B"+E"
Z=C'+E'=C+E
ここで、n |Ｅについて
mを自然数、n^m | E, n^(m+1)∤E とすると、
n^mn | E^n, n^(mn+1)∤E^n になります、
n | X*Y*Z とすると、
(1) n | X なら、
[1][2]のAとA'について、
(E^n)/nがちょうどA,A'で割り切れるから、
n^(mn-1)|A, n^(mn-1)|A' より、A'-A=2Eなので、n^(mn-1)|2E
n≧3は素数だから、n^(mn-1)|E
ところが、mn-1 ≧ m+1
なぜなら、n≧3は素数で、mは自然数だから、
(mn-1)-(m+1)=m(n-1)-2=m(n-3)+2(m-1)≧0
n^(m+1)∤Eなので、(mn-1) ≧ (m+1)より、
n^(mn-1)∤Eこれはn^(mn-1)|Eに矛盾します。
つまり、n∤Xとなります。
これは、n∤A', n∤Aを意味します。
(2) n | Y なら、
[1][3]のBとB"について、
(E^n)/nがちょうどB,B"で割り切れるから、
n^(mn-1)|B, n^(mn-1)|B" より、B"-B=2Eなので、n^(mn-1)|2E
同様にして、n∤Yとなります。
これは、n∤B'', n∤Bを意味します。
(3) n | Z なら、
[1][2]のCとC'について、
(E^n)/nがちょうどC,C'で割り切れるから、
n^(mn-1)|C, n^(mn-1)|C' より、C'-C=2Eなので、n^(mn-1)|2E
同様にして、n∤Zとなります。
これは、n∤C', n∤Cを意味します。
したがって、n∤X*Y*Z、n∤A*B*C となります。
[6] n∤X*Y*Zから A=a^n, B=b^n, C=c^nと A+B=C より
⇒ a^n＋b^n＝c^n になって、 E＝0と X+Y=Z から、
矛盾することのご説明
n∤X*Y*Z、n∤A*B*Cでした。
したがって、A,B,Cのすべての素因数pは、p≠nで、
A,B,Cは、E^nをちょうど割り切るので、
それぞれの素因数pの冪はp^mnの形をしています。
つまり、A=∏ p^mn=(∏ p^m)^n
ここで、(∏ p^m)=aとおくと、A=a^nとなります。
同様に、B=b^n, C=c^nの形にあらわされます。
さらに、A+B=Cより、a^n+b^n=c^nとなります。
ところが、[1]より、
n≧3は素数,
X,Y,Z,E,A,B,C,a,b,cは自然数なので、
X=A+E＞A=a^n＞a, Y=B+E＞B=b^n＞b, Z=C+E＞C=c^n＞cより
X＞a, Y＞b, Z＞c, a^n+b^n=c^nとなります。
X^n+Y^n=Z^n (n≧3は素数)の
Zの最小性を仮定すれば、矛盾するので、E=0となります。
n≧3は素数で、
n|E,n|E',n|E",n|E'",n|E""より、
もし、E*E'*E"*E'"*E""=0なら、
E=0なら、 X=A,Y=B,Z=Cなので、 A+B=Cより、 X+Y＝Zになります。
E'=0なら、X=A',-Y=B',Z=C'なので、A'=C'+B'より、X=Z-Yになります。
E"=0なら、-X=A",Y=B",Z=C"なので、B"=C"+A"より、Y=Z-Xになります。
E'"=0なら、-X=A'",Y=B'",-Z=C'"なので、A'"=C'"+B'"より、-X=-Z+Yになります。
E""=0なら、X=A"",-Y=B"",-Z=C""なので、B""=C""+A""より、-Y=-Z+Xになります。
いずれも、X+Y=Zになるので、
(X+Y)^n = Z^nより
X^n + Y^n +{ΣnCk*(X^k)*Y^(n-k)} = Z^n
X^n + Y^n = Z^nで、X,Yは自然数なので、
{ΣnCk*(X^k)*Y^(n-k)}=0となり、矛盾します。
なので、 X^n + Y^n = Z^nで、 X,Y,Zが互いに素、ｎ≧３が素数の自然数はありません。