どうも、ねへほもんです。
早速ですがまたやります。
新しい動画が追加されていて、前回は東大・京大のみでしたが、他の大学の入試問題が取り上げられていました。
1.2通りだけです
整数問題は試行錯誤
前回の記事も書きましたが、とにかくこれに尽きます。
小さい数値から何通りか入れてみて、解の傾向を探ってみましょう。
本来なら自分で試行錯誤するところですが、今回は動画内で解が(1,1),(2,3)の2通りだと言われていました。
大量に解がありそうに見えて、なんと2通りだけです。
伝説の問題と言われるだけあって、美しいですね。
2.式は変形すれば豹変する
という訳で、今回も解を知っている前提で、その解法を考えていきます。
やはり試行錯誤。
式をボーっと眺めていても浮かばないため、式を変形しながら方向性を探っていきます。
①3^a - 2^b = 1(そのまま)
②3^a = 2^b + 1
③3^a - 1 = 2^b
式は3通り考えられます。最初は②から着手し、3で割った余りから考えることにしました。
3^a = 2^b + 1
左辺は当然3の倍数。一方右辺は、
b=0 → 余り2
b=1 → 余り0
b=2 → 余り2
b=3 → 余り0
b=4 → 余り2
という具合に、2と0が繰り返されます。
左辺が3の倍数である以上、等式の右辺も3の倍数(つまり余り0)となる必要があります。
よって、bは奇数であることが判明しました。
・・・が、ここで行き詰まりました。
今回は単なる3の倍数というだけでは情報として不十分なようです。
3の倍数の中でも特別な、3のべき乗であるという点を利用しないと解が絞り込めません。
3.因数分解
次に浮かんだ式の形が
③3^a - 1 = 2^b
でした。
左辺を因数分解すれば何か見えるかもと思いました。
ⅰ aが偶数(a = 2nと置く)の場合
左辺は(3^n + 1)(3^n - 1)と因数分解できます。
これが右辺と一致する、つまり2のべき乗になるということです。
とすれば、3^n + 1, 3^n - 1が共に2のべき乗である必要があります。
ここで2のべき乗を列挙すると、
1, 2, 4, 8, 16, 32, ・・・
で、当然ながら徐々に間隔が開きます。
どういうことかというと、最初は1から2へ1だけ増えるだけですが、次は2から4へ2だけ増加し、その次は4から8へ4だけ増加するように、増加幅が大きくなります。
で、今回は3^n + 1, 3^n - 1が共に2のべき乗になるのですが、3^n + 1は3^n - 1より2だけ大きい数です。
間隔が2しか開いていない2つの数が、共に2のべき乗になるのは1つしかありえません。
3^n - 1 = 2
3^n + 1 = 4
つまり、n=1で、a=2の場合のみです。
(a, b)= (2, 3)が唯一の解となります。
ⅱaが奇数(a = 2m+1と置く)の場合
左辺は(3 - 1)(3^(a-1) + 3^(a-2) + ・・・ + 3 + 1)と因数分解できます。
今回も、3 - 1と3^(a-1) + 3^(a-2) + ・・・ + 3 + 1は共に2のべき乗となる必要があります。
3-1は2、つまり2の1乗なのでクリアしています。
3^(a-1) + 3^(a-2) + ・・・ + 3 + 1が2のべき乗である
という方が問題となります。
いきなり2のべき乗か？と問うのは難しいので、まずそもそも偶数なのか？という所から見ていきましょう。
この多項式は、3の0乗(つまり1)から3のa-1乗の和となっており、a個の項から構成されています。
ここでポイントとなるのが、
・aは奇数
・3のべき乗は全て奇数
ということです。
要は、
奇数個を奇数回足し合わせても奇数、つまり3^(a-1) + 3^(a-2) + ・・・ + 3 + 1は奇数しかあり得ない
ということが言えます。
2のべき乗は通常偶数ですが、1つだけ奇数が存在します。
2の0乗は1
つまり、解は1つしか存在しません。
具体的には(a, b)=(1, 1)が該当します。
以上ⅰ,ⅱより、解は(1,1),(2,3)の2通りのみであることが導かれました。
面倒なので解説は見ていませんが、多分これで合っているはず・・・？
間違えていたらこっそり教えてください。
という訳で、僕の解法をまとめると、
〇のべき乗という問題に対しては、
①まずは〇の倍数かという視点で、割った余りを調べる
②それで解けない場合は、べき乗であるという情報を頑張って活用する(今回は因数分解)
という流れで解きました。
割った余りは合同式modという形で簡単に扱えますが、べき乗という情報は扱いづらいので、一工夫必要になりますね。
とはいえ最後は「3^(a-1) + 3^(a-2) + ・・・ + 3 + 1は奇数しかあり得ない」ことから解を導いたので、やはり割った余りという考え方は汎用性が高いようです。
今回も無事解けて一安心。
まだ未着手の問題が多数ありますが、やる気が出たら解いて記事にします。
ではまた(^^)/