高校数学、SPIやBESTなどでよく出てくる「形式論理」。理解するのに時間がかかる問題の一つではないでしょうか。
そんな対偶・逆・裏・真偽の関係を一般常識や気象、身近でわかりやすい例を交えて説明してみようと思います！
是非自分に当てはめて例えを考えながら読み進めてください！
それぞれの概念の意味と関係性
命題(proposition)は､論理学や数学で使用される用語で､真または偽を持つ陳述や文のことを指します｡命題は｢事実を表す文｣とも言え､どのような条件下でもその真偽が決定される文です｡
例1）｢今日は雨が降っている｡｣
これは命題であり､実際に雨が降っているかどうかによって真または偽が決まります｡
例2） ｢2 + 2 = 4｣
これは数学的な命題で､常に真です｡
【命題の条件】
1. 真または偽を決定できること
- 命題は必ず真(True)または偽(False)のいずれかでなければなりません｡
- 曖昧な表現や主観的な意見は命題とはなりません｡
- 例えば､｢このｹｰｷは美味しい｣は個々の好みに依存するため､命題とは言えません｡
2. 具体性
- 命題は具体的な内容を持つ必要があります｡曖昧な表現や疑問文は命題と見なされません｡
- 例えば､｢すべての鳥は空を飛ぶ｣などの具体的な陳述が命題になります｡
【命題に関連する概念】
◾️逆(converse)
ある主張の条件と結果を逆にしたもの｡
｢雨が降ると地面が濡れる｣という主張がある場合､その逆は｢地面が濡れると雨が降る｣となりますが､これは成り立たないことがあります｡
元の命題: ｢AならばB｣
逆: ｢BならばA｣
※元の命題と逆は真偽が一致しない場合があります｡
◾️裏(inverse)
ある主張が成り立つとき､その否定も成り立つ｡
｢夜は暗い｣という主張が成り立つ場合､裏の主張｢夜が明るい｣は成り立ちません｡
元の命題: ｢AならばB｣
裏: ｢AでなければBでない｣
※元の命題と裏も真偽が一致しない場合があります｡
◾️対偶(contrapositive)
- ｢もしAならばB｣という命題の対偶は｢もしBでないならばAでない｣という形で､元の命題が真ならば対偶も真､元の命題が偽ならば対偶も偽になります｡
ある主張が成り立たないとき､その主張の否定も成り立たない｡
｢夏になると暑い｣という主張が真であるとすると､｢夏になっても涼しい｣という主張が成り立たない場合､元の主張も成り立たない｡
元の命題: ｢AならばB｣
対偶: ｢BでなければAでない｣
◾️真偽の関係
命題が真であればその対偶も真である｡
対偶の関係は､一般的に真偽が反転する法則です｡
つまり､もしも文が真であれば､その文の対偶も真になり､文が偽であればその対偶も偽になります｡
【例外】
ただし､複雑な文脈や論理構造によっては､真偽がﾊﾞﾗﾊﾞﾗになる場合もあります｡例えば､｢すべてのAはBである｣という文が偽であれば､｢少なくとも1つのAはBでない｣という対偶が真になりますが､｢少なくとも1つのAはBでない｣という文が偽である場合､元の文が必ずしも真とは限りません｡
日常生活での対偶の例をいくつか挙げてみます｡
1. 命題｢すべての人間は死ぬ｡｣
対偶:｢少なくとも1人の人間は死なない｡｣
この命題が真であれば､すべての人間が死ぬので､対偶は偽になります｡逆に､この文が偽であれば､少なくとも1人の人間が死なないので､対偶は真になります｡
2. 命題｢この商品は100%安全である｡｣
対偶:｢この商品は100%安全ではない｡｣
- 元の命題が真であれば､商品は100%安全なので､対偶は偽になります｡逆に､元の文が偽であれば､商品は100%安全でないので､対偶は真になります｡
3. 命題｢すべての夏は暑い｡｣
対偶:｢少なくとも1つの夏は暑くない｡｣
この命題が真であれば､すべての夏が暑いので､対偶は偽になります｡逆に､この文が偽であれば､少なくとも1つの夏が暑くないので､対偶は真になります｡
例からわかるように､対偶の関係では､命題が真であれば対偶は偽になり､命題が偽であれば対偶は真になります｡
※逆や裏が必ずしも真であるとは限らない｡
真偽: 主張が事実に合致しているかどうか｡
例: ｢猫は哺乳類である｣という主張が真である場合､それを否定した｢猫は哺乳類でない｣は偽となります｡
これらの概念を理解することで､論理的な思考や推論がより明確になり､複雑な議論や問題解決に役立つことができます｡
身近な例え
1. 命題:太陽が出ていれば昼である｡(真: 正午に太陽が出ている｡）
- 逆:昼であれば太陽が出ている｡(偽: 雨天や曇りの日でも昼である｡）
- 裏: 太陽が出ていなければ昼ではない｡(偽: 夜の時に曇りや雨で太陽が見えない場合｡）
- 対偶: 昼でなければ太陽は出ていない｡(真: 夜であれば太陽は見えない｡）
2. 命題: 夜になると星が見える｡ (真)
- 逆: 星が見えるということは､夜だ｡ (偽:天体ｼｮｰやﾌﾟﾗﾈﾀﾘｳﾑでも星が見えることがある)
- 裏: 夜でないと星は見えない｡ (真)
- 対偶: 星が見えないということは､夜でない｡ (真)
3. 命題: 雨が降れば地面が濡れる。
- 逆: 地面が濡れていれば雨が降っている。（偽の場合もある：水撒きなど）
- 裏: 雨が降っていなければ地面は濡れていない。（偽の場合もある：水撒きなど）
- 対偶: 地面が濡れていなければ雨は降っていない。（真）
4.命題: ｱﾗｰﾑが鳴れば朝である｡(偽)
- 逆:朝であればｱﾗｰﾑが鳴る｡(偽)
- 裏:ｱﾗｰﾑが鳴っていなければ朝ではない｡(偽)
- 対偶: 朝でなければｱﾗｰﾑは鳴らない｡(偽)
5. 命題: 水を飲めば喉が潤う｡ (真)
- 逆: 喉が潤うと水を飲んだ｡ (偽:他の飲み物でも喉が潤うことがある)
- 裏: 喉が潤っていないならば､水を飲んでいない｡ (真)
- 対偶: 喉が潤っていないならば､水を飲んでいない｡ (真)
6. 命題: お金を持っていれば買い物ができる｡ (真)
- 逆: 買い物ができるとお金を持っている｡ (偽:借金やｸﾚｼﾞｯﾄｶｰﾄﾞなどでも買い物ができることがある)
- 裏:お金を持っていないと買い物ができない｡ (偽:ポイントやクーポンでも買い物ができることがある)
- 対偶: 買い物ができないならば､お金を持っていない｡ (真)
7. 命題: 掃除をすると部屋がきれいになる｡ (真)
- 逆: 部屋がきれいになるということは､掃除をした｡ (偽:他の人が掃除した場合や､最初からきれいな場合もある)
- 裏: 掃除をしないと部屋はきれいにならない｡ (真)
- 対偶: 部屋がきれいでないということは､掃除をしていない｡ (真)
8. 命題: 本を読むと知識が増える｡ (真)
- 逆: 知識が増えるということは､本を読んだ｡ (偽:他の方法でも知識が増えることがある)
- 裏: 本を読まないと知識が増えない｡ (真)
- 対偶: 知識が増えないということは､本を読んでいない｡ (真)
