1983年5月9日、松田優作と松田美由紀の長男として生まれる。両親は龍平が生まれてから結婚し、6歳で父・松田優作を亡くす。
中学3年生の時、『御法度』の主役を捜していた大島渚の目にとまり、出演を直接要請される。
2011年、映画『まほろ駅前多田便利軒』に出演。
「行天」はハマリ役と言われその後も連続ドラマ、続編映画とシリーズ化もされることになる。
同時期に話が来た映画『探偵はBARにいる』シリーズを引き受ける際は、『まほろ…』と同じバディもの、さらに「行天」にも通じる「高田」という自由人を演じるにあたって悩んだが、撮影している間に全く違う人物だということに気付くことができた。
2013年、映画『舟を編む』では「特に責任を感じて取り組みたかった。」といい周囲と話さなくてはいけない気持ちを持って現場に向かうようになったことを語った。
本作は多くの作品賞を受賞。また松田自身、国内主演男優賞を総なめにした。