このあたりはお使いのアプリによって違うので端的に書いていきます。
前提条件としてＳＤカードを持っていることとします。
そしてＳＤカードは新品を用意するかフォーマットされてデータが入っていない状態が理想です。
ＳＤカード内に前のスマートフォンのアドレスを書き出し（これをエクスポートと言います）、Zenfone5にそのＳＤカードを入れたあと読み込みます（これをインポートと言います）。
どのアドレス帳でも設定のところにインポート/エクスポートの文字があると思います。
以下のような感じです。
まず前に使っていたスマートフォンで「ＳＤカードにエクスポート」します。
次にＳＤカードを取り出しZenfone5に入れてアドレス帳から「インポート」の文字を探します。
おそらくそこで「ＳＩＭ」、「ストレージ」などの文字がでると思います。
「ＳＩＭ」以外であれば問題ないかと思います。
「ＳＩＭ」にはそれほど多くのアドレスを登録することができません。
使っていたＳＤカードをそのまま使ってしまった場合、インポートするデータが探せない場合があります。
得意な人ならなんとかできますが、分からなければあきらめてフォーマットしてください。
インポートが完了したらアドレス帳を開いてみてください。
アドレスが表示されれば成功です。
表示されない場合は失敗
以上、導入までの手順でした。