解くより作れ

学生の頃は

ヒマな時に変な計算を考えて遊んでいた。

大学講義ノートの欄外には

落書きに並んで計算式が。

……ヒマな時？

f(x+h)=af(x) （h、aは実数）の時

f(x)を求めよ。

ただし、f(x)は全てのxにおいて連続。

とか。

「hとaが独立だからh→0の収束が問題だ」

と感じられた方がいたらわたしも嬉しいです（←不遜）。

私的解）

f(x+h)-f(x)=(a-1)f(x)

limh→0[{f(x+h)-f(x)}/h]=limh→0[(a-1)f(x)/h]

　　　　　　　　　　　　　　=limh→0[(a-1)/h]f(x)

左辺はf(x)の微分の定義なので

f(x)が連続であるためにはlimh→0[(a-1)/h]が収束すべき。

limh→0、a→0[(a-1)/h]=c'（c'は任意の定数）

更に、hとaの間に関連性はないので

ｈ→0の収束速度よりもa-1→0の収束速度が絶対的に速い。

∴a-1=0（必要条件）

a=1

これを元の式に代入。

f(x+h)=f(x)

f(x)=c（cは任意の定数）（ただしa=1）

これは十分条件も満たす。

なんかぎこちない部分がある。