KENの構成 ～復習③ 12KENの作図～

さてさて、前回はノードC～Dまで配置しました。
今回は、最後まで配置していきます。
と言っても、やることは前回と一緒なので、
サクサクいきましょ～

では早速、ノードD#から。
ノードに対する頂点候補の表（前回記事を参照）から、
ノードD#で結べる頂点項は、以下の通りです。

ノードD#で結べる頂点：C,D,F,G,G#,A,Bb,B

そして、ノードC～Dで使っている頂点のペアは、

ノードCの頂点ペア ：(D,E),(F,F#),(G,G#),(A,B)
ノードC#の頂点ペア：(C,D#),(F,G),(F#,G#),(A,Bb)
ノードDの頂点ペア ：(C#,E),(F#,A),(G,Bb),(G#,B)

です。上記のペア以外のペアを取ればいいので、
例えば、(C,D),(F,A),(G,B),(G#,Bb)としましょう。
そうすると、ノードD#の配置は下の図になります。

これを組み合わせると、ノードC～D#までの配置は、
下の図のようになります。

どんどんいきますよ～。
次はノードEですね。同じように、表から、

ノードEで結べる頂点：C,C#,D#,F#,G#,A,Bb,B

がわかり、

ノードCの頂点ペア ：(D,E),(F,F#),(G,G#),(A,B)
ノードC#の頂点ペア：(C,D#),(F,G),(F#,G#),(A,Bb)
ノードDの頂点ペア ：(C#,E),(F#,A),(G,Bb),(G#,B)
ノードD#の頂点ペア：(C,D),(F,A),(G,B),(G#,Bb)

以外のペアを取りましょう。ですから、例えば、
(C,C#),(D#,Bb),(F#,B),(G#,A)とかですね。
繰り返しなので、今までの配置に付け加えちゃいましょう。

ここまでくると、要領はつかめたと思いますので、
あとは機械的に進めていく感じにします。

□ノードF
ノードFで結べる頂点：C,C#,D,E,G,A,Bb,B

ノードCの頂点ペア ：(D,E),(F,F#),(G,G#),(A,B)
ノードC#の頂点ペア：(C,D#),(F,G),(F#,G#),(A,Bb)
ノードDの頂点ペア ：(C#,E),(F#,A),(G,Bb),(G#,B)
ノードD#の頂点ペア：(C,D),(F,A),(G,B),(G#,Bb)
ノードEの頂点ペア ：(C,C#),(D#,Bb),(F#,B),(G#,A)

上記以外のペアを選ぶなら、
例えば、(C,E),(C#,Bb),(D,B),(G,A)。
そうすると、全配置は下の通りです。


□ノードF#
ノードF#で結べる頂点：C,C#,D,D#,F,G#,Bb,B

ノードCの頂点ペア ：(D,E),(F,F#),(G,G#),(A,B)
ノードC#の頂点ペア：(C,D#),(F,G),(F#,G#),(A,Bb)
ノードDの頂点ペア ：(C#,E),(F#,A),(G,Bb),(G#,B)
ノードD#の頂点ペア：(C,D),(F,A),(G,B),(G#,Bb)
ノードEの頂点ペア ：(C,C#),(D#,Bb),(F#,B),(G#,A)
ノードFの頂点ペア ：(C,E),(C#,Bb),(D,B),(G,A)

上記以外のペアを選ぶなら、
例えば、(C,G#),(C#,B),(D,Bb),(D#,F)。
そうすると、全配置は下の通りです。


□ノードG
ノードGで結べる頂点：C,C#,D,D#,E,F#,A,B

ノードCの頂点ペア ：(D,E),(F,F#),(G,G#),(A,B)
ノードC#の頂点ペア：(C,D#),(F,G),(F#,G#),(A,Bb)
ノードDの頂点ペア ：(C#,E),(F#,A),(G,Bb),(G#,B)
ノードD#の頂点ペア：(C,D),(F,A),(G,B),(G#,Bb)
ノードEの頂点ペア ：(C,C#),(D#,Bb),(F#,B),(G#,A)
ノードFの頂点ペア ：(C,E),(C#,Bb),(D,B),(G,A)
ノードF#の頂点ペア：(C,G#),(C#,B),(D,Bb),(D#,G#)

上記以外のペアを選ぶなら、
例えば、(C,A),(C#,D),(D#,F#),(E,B)。
そうすると、全配置は下の通りです。


□ノードG#
ノードG#で結べる頂点：C,C#,D,D#,E,F,G,Bb

ノードCの頂点ペア ：(D,E),(F,F#),(G,G#),(A,B)
ノードC#の頂点ペア：(C,D#),(F,G),(F#,G#),(A,Bb)
ノードDの頂点ペア ：(C#,E),(F#,A),(G,Bb),(G#,B)
ノードD#の頂点ペア：(C,D),(F,A),(G,B),(G#,Bb)
ノードEの頂点ペア ：(C,C#),(D#,Bb),(F#,B),(G#,A)
ノードFの頂点ペア ：(C,E),(C#,Bb),(D,B),(G,A)
ノードF#の頂点ペア：(C,G#),(C#,B),(D,Bb),(D#,G#)
ノードGの頂点ペア ：(C,A),(C#,D),(D#,F#),(E,B)

上記以外のペアを選ぶなら、
例えば、(C,Bb),(C#,G),(D,D#),(E,F)。
そうすると、全配置は下の通りです。


□ノードA
ノードAで結べる頂点：C#,D,D#,E,F,F#,G#,B

ノードCの頂点ペア ：(D,E),(F,F#),(G,G#),(A,B)
ノードC#の頂点ペア：(C,D#),(F,G),(F#,G#),(A,Bb)
ノードDの頂点ペア ：(C#,E),(F#,A),(G,Bb),(G#,B)
ノードD#の頂点ペア：(C,D),(F,A),(G,B),(G#,Bb)
ノードEの頂点ペア ：(C,C#),(D#,Bb),(F#,B),(G#,A)
ノードFの頂点ペア ：(C,E),(C#,Bb),(D,B),(G,A)
ノードF#の頂点ペア：(C,G#),(C#,B),(D,Bb),(D#,G#)
ノードGの頂点ペア ：(C,A),(C#,D),(D#,F#),(E,B)
ノードG#の頂点ペア：(C,Bb),(C#,G),(D,D#),(E,F)

上記以外のペアを選ぶなら、
例えば、(C#,F),(D,G#),(D#,B),(E,F#)。
そうすると、全配置は下の通りです。


□ノードBb
ノードBbで結べる頂点：C,D,D#,E,F,F#,G,A

ノードCの頂点ペア ：(D,E),(F,F#),(G,G#),(A,B)
ノードC#の頂点ペア：(C,D#),(F,G),(F#,G#),(A,Bb)
ノードDの頂点ペア ：(C#,E),(F#,A),(G,Bb),(G#,B)
ノードD#の頂点ペア：(C,D),(F,A),(G,B),(G#,Bb)
ノードEの頂点ペア ：(C,C#),(D#,Bb),(F#,B),(G#,A)
ノードFの頂点ペア ：(C,E),(C#,Bb),(D,B),(G,A)
ノードF#の頂点ペア：(C,G#),(C#,B),(D,Bb),(D#,G#)
ノードGの頂点ペア ：(C,A),(C#,D),(D#,F#),(E,B)
ノードG#の頂点ペア：(C,Bb),(C#,G),(D,D#),(E,F)
ノードAの頂点ペア ：(C#,F),(D,G#),(D#,B),(E,F#)

上記以外のペアを選ぶなら、
例えば、(C,F),(D,F#),(D#,A),(E,G)。
そうすると、全配置は下の通りです。


□ノードB
ノードBで結べる頂点：C#,D#,E,F,F#,G,G#,Bb

ノードCの頂点ペア ：(D,E),(F,F#),(G,G#),(A,B)
ノードC#の頂点ペア：(C,D#),(F,G),(F#,G#),(A,Bb)
ノードDの頂点ペア ：(C#,E),(F#,A),(G,Bb),(G#,B)
ノードD#の頂点ペア：(C,D),(F,A),(G,B),(G#,Bb)
ノードEの頂点ペア ：(C,C#),(D#,Bb),(F#,B),(G#,A)
ノードFの頂点ペア ：(C,E),(C#,Bb),(D,B),(G,A)
ノードF#の頂点ペア：(C,G#),(C#,B),(D,Bb),(D#,G#)
ノードGの頂点ペア ：(C,A),(C#,D),(D#,F#),(E,B)
ノードG#の頂点ペア：(C,Bb),(C#,G),(D,D#),(E,F)
ノードAの頂点ペア ：(C#,F),(D,G#),(D#,B),(E,F#)
ノードBbの頂点ペア：(C,F),(D,F#),(D#,A),(E,G)

上記以外のペアを選ぶなら、
例えば、(C#,F#),(D#,G),(E,G#),(F,Bb)。
そうすると、全配置は下の通りです。


これで完成ですね～！
もちろん、上の図と同じノード配置でなくても、
全く問題ありません。
前回も言いましたが、重要なのは、
配置のルールに反しないということです。
完成した図が正しいかどうかを判断するには、
各頂点が有するノードの表通りになっているか？
を確かめればいいわけです。

表と上の完成図を照らし合わせてみると、
各頂点から出ているノードは、
ちゃんと表通りのノードが出ていますよね。
これにて12KENの作図完了です！
めでたしめでたしってことで、
次回はここまでのまとめをして、復習を終えるとしましょう。
ではでは～

KENの構成 ～復習② 12KENの作図～

ご無沙汰してごめんなさい＞＜
超久々の投稿となってしまいました
間が空きすぎたので、
ちょっとだけ前回の復習をしましょう。

前回では、12KENを作図するための準備として、
BKETから頂点とノードの組み合わせ候補を
ピックアップして、表にしました。


上の表は、各頂点から出ているノードを表したものです。
例えば、頂点Cから出ているノードは、

C#,D#,E,F,F#,G,G#,Bb

の8本のノードを持つということです。
もう一つ対となる表もありましたね。
それが、ノードに対する頂点候補の表です。


この二つの表を作ったのが、前回の記事でした。
12KENの作図においては、BEKTの情報が分かれば、
ほとんど終わったようなものなので、
今回はどちらかというと、機械的な作業って感じです。
それでは、始めていきましょう。

さて、12KENの作図という意味では、
どちらの表からでもできるのですが、
今回は2番目の表を用いることにしましょう。
2番目の表は、ノードに対する頂点候補ですから、
例えば、ノードCで結べる頂点はどれ？
と聞かれたら、次の8頂点ですと答えることができます。

ノードCで結べる頂点：D,E,F,F#,G,G#,A,B

何てことはなくて、表の1行目を見たという感じですね。
他のノードに対しても同様で、表の行に注目する感じです。
こうして、ノードと頂点の候補がわかったので、
あとは実際に結んでいくだけです。
では、ノードCから順に結んでいきましょう。

ノードCから結んでいくのですが、
8個の頂点から、2つ選んで結ぶわけですよね。
そうすると、組み合わせの計算をすると、
頂点ペアの組み合わせは、28通りあります。
₈C₂というやつですね～。
では、具体的に結んでみた図を2、3上げてみましょう。

そうすると、どれとどれを結ぶのが正解なの？
ってなりますが、どのペアをとっても大丈夫です。
その保証は、KENの構成②、③でしましたよね。
ですから、どのパターンからスタートしてもいいわけです。
ただ、一つ注意しておかないといけないのは、
後半のノードについては、自由に選べません。
それは何故かというのは、実際に組み上げていけばわかるので、
とりあえず、パターン１を選んだとして、
どんどんノードを配置していきましょう。

それでは、次はノードC#です。
表から、頂点の候補を調べると次のようになっています。

ノードC#で結べる頂点：C,D#,F,F#,G,G#,A,Bb

ノードC#についても、ノードCと同じ28通りの
組み合わせがあるわけですが、そのすべてが許されるか？
というと、そうではありません。
実際に、許されるノード配置とそうでない配置を見てみましょう。

何で左はＯＫで、右はダメかわかりますか？
最初に選んだノードCの配置と、
ダメな方の配置を並べて見れば、すぐにわかります。

 

図を見れば明らかですが、F-F#とG-G#でのノードが、
それぞれ重複していますよね。
これは12KENの作図ルールに反しています。
同一頂点間でノードが重複してはいけないという、
ルールがありましたよね。
ですから、右のような配置はできません。
というわけで、ＯＫの方のパターンを選ぶことにしましょう。
そうすると、ノードC,C#を配置した図は、下のようになります。

落ち着いて、確認しながら配置していけば、
これと言って難しい所はないですよね。
パズルと同じなので、どのピースがはまるかを、
一つ一つ見ていく感じです。
では、次のノードを見ていきましょう。

次はノードDです。
同じように、まずは候補を見ましょう。

ノードDで結べる頂点：C#,E,F#,G,G#,A,Bb,B

あとはペアを決めて配置するだけです。
これまた28通りの組み合わせがありますが、
すでにノードCとノードC#の配置は、
以下のように決まってます。

ノードCの頂点ペア ：(D,E),(F,F#),(G,G#),(A,B)
ノードC#の頂点ペア：(C,D#),(F,G),(F#,G#),(A,Bb)

これらと重複しないようにしなければなりません。
ノードDの頂点ペアで、重複の可能性があるペアは、
(F#,G#),(G,G#),(A,Bb),(A,B)の4つです。
それらの4つを避けるように、ペアを選べばいいわけです。
重複さえしなければいいので、例えば、
(C#,E),(F#,A),(G,Bb),(G#,B)としてみましょう。

 

今回はこのようなペアを選びましたが、
もちろん必然性はありません。
(C#,G),(E,F#),(G#,A),(Bb,B)というように選んでも、
全く問題ありません。
重要なのは、重複しないといった、
配置に関するルールを破らないということです。

それでは、ノードDまで配置してみましょう。
前者のノードDの配置を採用すると、以下の図のようになりますよね。

さてさて、ここまでの状況を見てみると、
なんら数学っぽい所が出てきてませんよね。
ほんと、パズルをしているような感じです。
BKETというすごい設計図があるからというのが、
一番大きな理由なんですけど、それだけではなくて、
これまでの記事で考えてきた数学的な部分で、
細かい保証付けができているからこそ、
大腕を振って、パズルのようにやってもいいわけです。
決して無駄ではなかったということですね～

キリがいいので、今回はここまでにして、
次回で最後まで組み上げましょう。
そんなわけで、ノードD#はどうなるかを、
練習として自分で確かめてみましょ～
一回でも実際にやってみると、
思ったより簡単じゃん♪ってなるはずです！
ではでは～
 

KENの構成 ～復習① 12KENの作図～

KENの構成もオイラーグラフの入り口まで来ましたので、
休憩がてら、ちょっと復習してみましょう。
そこで、今回の復習のお題は、12KENの作図です。
この辺で、もう一度12KENの作図手順を見直しておくと、
CKETでの作図との違いがはっきりすると思います。
そんなわけで、前にやった時よりも、
もっと詳細に作図手順を追っていきましょう。

さてさて、12KENの作図において、
最も重要な情報は、BKETでしたよね。
こいつを見れば、各頂点におけるノードの情報が、
全てわかってしまいます。


これでは、前回と何も変わらないので、
頂点と頂点が有するノードを表にして、
分かりやすくしてみました。


1列目が頂点で、2列目から9列目が頂点が有するノードです。
表にしてやると、どの頂点が、どのノードで結べるか？
というのがわかりやすくなるのではないでしょうか。
実際に、ノードDで結べる頂点を探してみましょう。
どうやって探すのかというと、
頂点が有するノードの列（2～9列目）を見て、
ノードDを持っている頂点を探す感じです。
そうすると、ノードDを持つ頂点は、C#,E,F#,G,G#,A,Bb,B
の8つということがわかりますよね。
ですから、この8つの頂点から2つずつ選んで、
ノードDで結んでやればよいということになります。

試にもう1つやってみましょう。
今度は、ノードG#で結べる頂点を探してみます。
同じように探すと、C,C#,D,D#,E,F,G,Bb
の8つの頂点だとわかりますよね。

そんなわけで、各ノードに対する頂点候補を、
前述と同じように、表としてまとめてみましょう。
そうすると、下の表になります。


今度は、1列目がノードで、2～9列目が頂点となっていて、
どのノードで、どの頂点が結べるか？というのがわかります。

さて、最初の表と、上の表から得られる結論は同じですよね。
何で同じことを2回も言ってんの？って感じだと思います。
頂点候補を選ぶだけっていうなら、前回と全く同じなので、
少し付け加えていくことにしましょう。
そこで、二つの表は何を基準に調べているか？
ということに注目してみます。
最初の表は、頂点に注目して、頂点が有するノードについて、
調べていくのに対して、もう一つの表は、ノードに注目して、
どの頂点が候補になるかを調べましたよね。
端的に言うと、「頂点を基準に調べる」or「ノードを基準に調べる」
ということになります。
ここでちょっと引っかかることがありませんか？
どういうことかというと、注目した所が違ったにもかかわらず、
行き着く先は同じであるということです。
ちょっというか、だいぶ飛躍してしまいますが、
頂点に関する性質は、ノードに置き換えても成立するかもということです。

頂点とノードは、それぞれKENの構成要素としては、
別々の役割を果たすものだとして考えてきましたが、
実は、表裏一体のものかもしれないのです。
これが顕著に表れてくるのが、CKETになります。
BKETを表で表したように、CKETも表にしてみましょう。
そうすると、下のような表になります。

（ノードが4本しか書かれてませんが、
　それぞれ同じノードが2本ずつあるので、半分は省略してあります。）

なんだか、表をコピペして、1行目のラベルを変えただけじゃん
って感じになってますよね。
でも、実際にそうなっているのが、CKETの面白い所です。
つまり、頂点とノードを入れ替えても、
全く同じことが言えてしまうということです。
BKETの場合ではこうなりませんが、
CKETでは、頂点とノードを入れ替えてしまっても、
きっちり同じ表になります。
ここまでくると、前述での、
「頂点に関する性質は、ノードに置き換えても成立する」
というのは、現実味を帯びてきますよね。
このように、入れ替えても成立してしまうような状況を、
数学では"双対"と言います。
まぁ、厳密に言うと、色々と付け足すことはあるのですが、
その辺は、オイラーグラフが終わってから、
ゆっくり議論していくことにしましょう。
ただ、適当にやったらこうなったというわけではなくて、
双対という性質が背後に隠れているので、
同じような表を何度も見てきたというわけです。

う～ん、ちょっと付け足すつもりが、
またまた脇道にそれてしまった感じですね～。
でも、ノードに対する頂点候補の選び方は、
前回より少し進んだ感じではないでしょうか？
ちょっと中途半端な感じがしますが、
一旦ここで区切ることにして、次回も復習の続きをします。
きっちり12KENを作図できるようになりましょ～