EXORValidité d'un argument
Liste de symboles logiques — Wikipédia (wikipedia.org)
Interactive proof system - Wikipedia
In computational complexity theory, an interactive proof system is an abstract machine that models computation as the exchange of messages between two parties: a prover and a verifier. The parties interact by exchanging messages in order to ascertain whether a given string belongs to a language or not. The prover possesses unlimited computational resources but cannot be trusted, while the verifier has bounded computation power but is assumed to be always honest. Messages are sent between the verifier and prover until the verifier has an answer to the problem and has "convinced" itself that it is correct.
All interactive proof systems have two requirements:
Completeness: if the statement is true, the honest prover (that is, one following the protocol properly) can convince the honest verifier that it is indeed true.
Soundness: if the statement is false, no prover, even if it doesn't follow the protocol, can convince the honest verifier that it is true, except with some small probability.
The specific nature of the system, and so the complexity class of languages it can recognize, depends on what sort of bounds are put on the verifier, as well as what abilities it is given—for example, most interactive proof systems depend critically on the verifier's ability to make random choices. It also depends on the nature of the messages exchanged—how many and what they can contain. Interactive proof systems have been found to have some important implications for traditional complexity classes defined using only one machine. The main complexity classes describing interactive proof systems are AM and IP.
健全性（けんぜんせい、英: Soundness）は、論証が次の属性を持つことと同値である。
その論証は妥当である。
その前提の全てが真である。
論理体系における証明（例えば自然演繹）が健全（sound）であるとは、妥当な論理式（あるいは恒真式）のみを証明することを意味する。すなわち、論理体系が健全であるとは、
�
1
,
…
,
�
�
⊢
�
X_1,\ldots,X_n \vdash Y が
�
1
,
…
,
�
�
⊨
�
X_1,\ldots,X_n \models Y を含意することをいう。
日本では、土木工学、特にインフラストラクチャーにおいて健全性という言葉が使われることが多い。経年劣化や災害によって構造物に変化が生じたときに使用に耐えられるかどうかの意味で使われている。
健全な論証
次のような健全な論証があるとする（三段論法）。
全ての人間は死ぬ。
ソクラテスは人間である。
従って、ソクラテスは死ぬ。
この論証は妥当であり（前提から結論が導かれ、前提を真とすれば結論が真であるため）、前提が真なので、論証全体としては健全である。
以下の論証は妥当だが、健全ではない。
全ての動物は飛ぶことができる。
豚は動物である。
従って、豚は飛ぶことができる。
大前提は実際には偽であるため、この論証は妥当だが健全ではない。
参考文献
Irving Copi. Symbolic Logic, Vol. 5, Macmillian Publishing Co., 1979.
Boolos, Burgess, Jeffrey. Computability and Logic, Vol. 4, Cambridge, 2002.
関連項目
妥当性
外部リンク
Validity and Soundness （英語） - インターネット哲学百科事典「妥当性と健全性」の項目。
Correction (logique) — Wikipédia (wikipedia.org)
En logique, la forme d'une argumentation déductive est correcte si et seulement si elle est valide et que toutes ses prémisses sont effectivement vraies1.
En logique formelle, un système logique est correct si on peut lui associer une sémantique (on dit aussi un modèle) qui le justifie. La correction indique donc que les règles d’un tel système mettent en œuvre des raisonnements qui font du sens, puisqu'on peut les interpréter2.
Étymologie
Le terme de correction peut ici être pris dans son sens de qualité de ce qui est correct3. Correct venant de correctus participe passé de corrigo, (redresser, corriger) ; racine elle-même issue regō (diriger, guider, commander), et du préfixe augmentatif cor-, qui intensifie le sens du mot préfixé4.
On retrouve la même étymologie pour le terme allemand correspondant Korrektheit, où le suffixe heit sert à former des substantifs féminins à partir d’adjectifs, et indiquant la qualité décrite par ceux-ci.
Cependant, le terme de correction est parfois confondu avec la cohérence ou la validité, notamment dans des écrits qui les présentent comme la traduction du terme anglais soundness5. Celui-ci dérive du germanique sund, qu’on retrouve dans l’allemand Gesund (sain), et Gesundheit, (santé). En anglais, le suffixe -ness joue le même rôle que heit en allemand, il est apposé à un adjectif pour former un nom indiquant une qualité, un état en relation avec l’adjectif. En ce sens il faudrait, suivant cette étymologie, traduire soundness par la santé d’un système formel.
En tout état de cause, le terme français idoine pour désigner cette notion est bien correction, comme l'atteste son proche homologue allemand, ou le terme preuve de correction largement employé dans le domaine informatique6.
健全
Correction (logique) — Wikipédia (wikipedia.org)
Calcul des propositions — Wikipédia (wikipedia.org)
Le calcul des propositions ou calcul propositionnel, (ou encore logique des propositions) fait partie de la logique mathématique. Il a pour objet l'étude des relations logiques entre « propositions »1 et définit les lois formelles selon lesquelles les propositions complexes sont formées en assemblant des propositions simples au moyen des connecteurs logiques et celles-ci sont enchaînées pour produire des raisonnements valides. Il est un des systèmes formels, piliers de la logique mathématique dont il aide à la formulation des concepts2. Il est considéré comme la forme moderne de la logique stoïcienne3.
Introduction générale
La notion de proposition a fait l'objet de nombreux débats au cours de l'histoire de la logique ; l'idée consensuelle est qu'une proposition est une construction syntaxique censée parler de vérité. En logique mathématique, le calcul des propositions est la première étape dans la définition de la logique et du raisonnement. Il définit les règles de déduction qui relient les propositions entre elles, sans en examiner le contenu ; il est ainsi une première étape dans la construction du calcul des prédicats, qui lui s'intéresse au contenu des propositions et qui est une formalisation achevée du raisonnement mathématique. Le calcul des propositions, ou calcul propositionnel est encore appelé logique des propositions, logique propositionnelle ou calcul des énoncés.
Définition d'une proposition
Quoique le calcul des propositions ne se préoccupe pas du contenu des propositions, mais seulement de leurs relations, il peut être intéressant de discuter ce que pourrait être ce contenu. Une proposition donne une information sur un état de chose. Ainsi « 2 + 2 = 4 » ou « le livre est ouvert » sont deux propositions.
En logique classique (logique bivalente), une proposition peut prendre uniquement les valeurs vrai ou faux. Une phrase optative (qui exprime un souhait comme « Que Dieu nous protège ! »), une phrase impérative (« viens ! », « tais-toi ! ») ou une interrogation n'est pas une proposition. « Que Dieu nous protège ! » ne peut être ni vraie ni fausse : elle exprime uniquement un souhait du locuteur.
Par contre, une phrase comme « Dans ce calcul, toutes les variables informatiques sont toujours strictement positives » est une proposition dont le contenu a été modifié par le quantificateur toutes les et la modalité temporelle toujours et qui est donc supposée s'avérer dans la durée. Ce type de proposition relève de la logique modale et plus précisément de la logique temporelle. En effet, la modalité toujours affirme sa pérennité dans le temps et elle sera donc toujours vraie, tandis que le quantificateur tous les stipule que la proposition sont toujours positives s'applique à toutes les variables informatiques, ce qui d'ailleurs sort du domaine du calcul des propositions.
Proposition et prédicat
Si une proposition est une assertion ayant une valeur de vérité, un prédicat est lui une expression dont la valeur de vérité dépend de variables qu'elle renferme. Le prédicat « Mon pays se situe en Europe » sera vrai, faux ou indéterminé en fonction de la valeur de la variable « Mon pays ». Si le lecteur est suisse, on obtiendra la proposition « La Suisse se situe en Europe », qui est vraie ; si le lecteur est canadien, on obtiendra la proposition « Le Canada se situe en Europe », qui est fausse4 ; si le lecteur est russe, on obtiendra la proposition « La Russie se situe en Europe » qui est indéterminée, car, comme on sait la Russie est à cheval sur l'Europe et l'Asie5.
Définition d'un système déductif
Un calcul ou un système déductif est, en logique, un ensemble de règles permettant en un nombre fini d'étapes et selon des règles explicites de pouvoir affirmer si une proposition est vraie. Un tel procédé s'appelle une démonstration. On associe aussi aux propositions une structure mathématique qui permet de garantir que ces raisonnements ou démonstrations ont du sens, on dit qu'on lui a donné une sémantique. En calcul des propositions classique, cette sémantique n'utilise que deux valeurs, vrai et faux (souvent notées 1 et 0). Une proposition entièrement déterminée (c'est-à-dire dont les valeurs des constituants élémentaires sont déterminées) ne prend qu'une seule de ces deux valeurs.
Structure
Dans les théories de la logique mathématique, on considère donc deux points de vue dits syntaxique et sémantique, c'est le cas en calcul des propositions.
Syntaxe des formules propositionnelles : il s’agit de définir le langage du calcul des propositions par les règles d’écriture des propositions.
Le sens des formules propositionnelles (qui sont les expressions syntaxiquement correctes) est donné par le sens des connecteurs. Il peut être décrit de deux façons.
Par la sémantique : il s’agit ici d'interpréter les symboles représentant les connecteurs logiques par des fonctions de la valeur de vérité des propositions de base (ainsi
¬\lnot signifie non). Ce sens est donné en logique classique par des tables de vérité, dans d'autres logiques par exemple par des modèles de Kripke.
Par la déduction : le sens des connecteurs est décrit de façon opératoire, par des règles purement syntaxiques dites règles d'inférence. Ces règles permettent la déduction de propositions à partir d'autres. Elles engendrent des propositions spécifiques que l'on appelle des théorèmes.
Pour une logique donnée, les règles de déductions envisagées sont correctes vis-à-vis de la sémantique, au sens où à partir de propositions vraies on ne peut déduire que des propositions vraies. Si la déduction correspond parfaitement à la sémantique le système est dit complet.
Le système exposé ci-dessous se situe dans le cadre de la logique classique, qui est la branche de la logique mathématique la plus utilisée en mathématiques. On trouvera plus loin une présentation de logiques non classiques. L'adjectif « classique » ne doit pas être pris dans un sens de « normalité », mais comme un attribut que lui a donné l'histoire de la logique, elle aurait tout aussi bien pu s'appeler « booléenne ».
Validité (logique) — Wikipédia (wikipedia.org)
Validité d'un argument
La forme d'une argumentation déductive est dite valide si et seulement si elle utilise des règles d’inférence par lesquelles il est impossible d’obtenir une conclusion fausse à partir de prémisses vraies. Un argument est valide si et seulement si la vérité de ses prémisses entraîne celle de sa conclusion. Il serait contradictoire d'affirmer les prémisses et de nier la conclusion. La conclusion est la conséquence nécessaire, d'une part des prémisses, d'autre part de la structure ou de la forme logique de l'argument.
Le syllogisme constitue un exemple d'argument valide (c'est aussi un raisonnement valide et un modus ponens) :
Tous les hommes sont mortels ;
Socrate est un homme ;
Donc Socrate est mortel.
Si les prémisses et la conclusion de l'argument sont vraies, ce n'est pas pour cela qu'il est valide. La condition de sa validité est la nécessité logique de la conclusion découlant des deux prémisses. Un argument peut être formellement ou logiquement valide tout en ayant des prémisses et une conclusion fausse. L'argument suivant possède la même forme logique dite « Barbara » et est également valide, mais possède des prémisses fausses et par conséquent une conclusion tout aussi fausse :
Toutes les tasses sont vertes ;
Socrate est une tasse ;
Donc Socrate est vert.
Peu importe la façon dont l'argument est construit, s'il est valide, il ne saurait avoir de vraies prémisses et une conclusion fausse. L'argument suivant est vrai dans ses prémisses et dans sa conclusion, mais sa forme logique est invalide :
Tous les hommes sont mortels ;
Socrate est mortel ;
Donc, Socrate est un homme.
Dans ce cas, la conclusion ne découle pas nécessairement des prémisses. Tous les hommes sont mortels, mais tous les mortels ne sont pas des hommes. Toute créature vivante est mortelle ; si l'on remplace ici « homme » par « chat » ou « chien », l'invalidité de l'argument (qui reste toujours la même, sa forme logique ne changeant pas) apparaît plus clairement en raison de la fausseté manifeste de la conclusion. Autrement dit, même si les prémisses et la conclusion se trouvent être vraies dans cet exemple, l'argument est invalide.
Afin d'éprouver la validité d'un argument, on examine sa forme logique afin de voir si elle est valide ou non. Plusieurs techniques peuvent être employées pour cela. Descartes, dans son Discours de la méthode, propose de diviser un argument long en plusieurs parties plus simples et plus faciles à comprendre pour l'esprit. Il les compare à des « chaînes », dont l'esprit éprouverait la continuité en vérifiant les maillons un par un1. Plus tard, des mathématiciens utiliseront la théorie des ensembles pour représenter sous une forme géométrique les syllogismes : c'est ce à quoi servent les diagrammes de Venn.
Validité en logique mathématique
En logique mathématique la validité relie la syntaxe à la sémantique. C'est la propriété d'une proposition d'être interprétée par le « vrai » dans le modèle. Un système de déduction est correct si toutes les propositions démontrables sont valides.
Voir aussi
Références
« Ces longues chaînes de raisons, toutes simples et faciles, dont les géomètres ont coutume de se servir pour parvenir à leurs plus difficiles démonstrations, m’avaient donné occasion de m’imaginer que toutes les choses qui peuvent tomber sous la connaissance des hommes s’entre-suivent en même façon, et que, pourvu seulement qu'on s'abstienne d'en recevoir aucune pour vraie qui ne le soit, et qu'on garde toujours l'ordre qu'il faut pour les déduire les unes des autres, il n'y en peut avoir de si éloignées auxquelles enfin on ne parvienne, ni de si cachées qu'on ne découvre. Et je ne fus pas beaucoup en peine de chercher par lesquelles il était besoin de commencer : car je savais déjà que c’était par les plus simples et les plus aisées à connaître ; et, considérant qu'entre tous ceux qui ont ci-devant recherché la vérité dans les sciences, il n’y a eu que les seuls mathématiciens qui ont pu trouver quelques démonstrations, c'est-à-dire quelques raisons certaines et évidentes, je ne doutais point que ce ne fût par les mêmes qu'ils ont examinées ; bien que je n’en espérasse aucune autre utilité, sinon qu’elles accoutumeraient mon esprit à se repaître de vérités, et ne se contenter point de fausses raisons. » Discours de la méthode, deuxième partie.
Articles connexes
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Concepts fondamentaux
AbductionConclusionDéductionDéfinitionDémonstrationDescriptionImplicationInférenceInductionSensParadoxePrédicatPrémissePropositionMondes possiblesPrésuppositionRéférenceSémantiqueSyntaxeSyllogismeVéritéValeur de véritéValiditéPlus
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Philosophie de la logique
Atomisme logiqueConstructivismeLogicismeIntuitionnismeDialethéisme
Logiciens
AristoteAvicenneAverroèsBainBarwiseBernaysBooleCantorCarnapChurchChrysippe de SolesCurryDe MorganFregeGentzenGödelHilbertKleeneKripkeLeibnizLöwenheimGuillaume d'OckhamPeanoPeircePopperPutnamQuineRussellSchröderScotSkolemSmullyanTarskiTuringWhiteheadWittgensteinZermelo
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Catégorie : Concept logique[+]
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Exclusive or or exclusive disjunction or exclusive alternation or logical non-equivalence or logical inequality is a logical operator whose negation is the logical biconditional. With two inputs, XOR is true if and only if the inputs differ (one is true, one is false). With multiple inputs, XOR is true if and only if the number of true inputs is odd.[1]
It gains the name "exclusive or" because the meaning of "or" is ambiguous when both operands are true. XOR excludes that case. Some informal ways of describing XOR are "one or the other but not both", "either one or the other", and "A or B, but not A and B".
It is symbolized by the prefix operator
�
J[2]: 16 and by the infix operators XOR (/ˌɛks ˈɔːr/, /ˌɛks ˈɔː/, /ˈksɔːr/ or /ˈksɔː/), EOR, EXOR,
∨
˙{\displaystyle {\dot {\vee }}},
∨
¯{\displaystyle {\overline {\vee }}},
∨
_{\displaystyle {\underline {\vee }}}, ⩛,
⊕\oplus ,
↮\nleftrightarrow, and
≢
\not \equiv .
In logic, specifically in deductive reasoning, an argument is valid if and only if it takes a form that makes it impossible for the premises to be true and the conclusion nevertheless to be false.[1] It is not required for a valid argument to have premises that are actually true,[2] but to have premises that, if they were true, would guarantee the truth of the argument's conclusion. Valid arguments must be clearly expressed by means of sentences called well-formed formulas (also called wffs or simply formulas).
The validity of an argument can be tested, proved or disproved, and depends on its logical form.[3]
Arguments
Argument terminology used in logic
In logic, an argument is a set of statements expressing the premises (whatever consists of empirical evidences and axiomatic truths) and an evidence-based conclusion.
An argument is valid if and only if it would be contradictory for the conclusion to be false if all of the premises are true.[3] Validity does not require the truth of the premises, instead it merely necessitates that conclusion follows from the formers without violating the correctness of the logical form. If also the premises of a valid argument are proven true, this is said to be sound.[3]
The corresponding conditional of a valid argument is a logical truth and the negation of its corresponding conditional is a contradiction. The conclusion is a logical consequence of its premises.
An argument that is not valid is said to be "invalid".
An example of a valid (and sound) argument is given by the following well-known syllogism:
All men are mortal. (True)
Socrates is a man. (True)
Therefore, Socrates is mortal. (True)
What makes this a valid argument is not that it has true premises and a true conclusion, but the logical necessity of the conclusion, given the two premises. The argument would be just as valid were the premises and conclusion false. The following argument is of the same logical form but with false premises and a false conclusion, and it is equally valid:
All cups are green. (False)
Socrates is a cup. (False)
Therefore, Socrates is green. (False)
No matter how the universe might be constructed, it could never be the case that these arguments should turn out to have simultaneously true premises but a false conclusion. The above arguments may be contrasted with the following invalid one:
All men are immortal. (False)
Socrates is a man. (True)
Therefore, Socrates is mortal. (True)
In this case, the conclusion contradicts the deductive logic of the preceding premises, rather than deriving from it. Therefore, the argument is logically 'invalid', even though the conclusion could be considered 'true' in general terms. The premise 'All men are immortal' would likewise be deemed false outside of the framework of classical logic. However, within that system 'true' and 'false' essentially function more like mathematical states such as binary 1s and 0s than the philosophical concepts normally associated with those terms.
A standard view is that whether an argument is valid is a matter of the argument's logical form. Many techniques are employed by logicians to represent an argument's logical form. A simple example, applied to two of the above illustrations, is the following: Let the letters 'P', 'Q', and 'S' stand, respectively, for the set of men, the set of mortals, and Socrates. Using these symbols, the first argument may be abbreviated as:
All P are Q.
S is a P.
Therefore, S is a Q.
Similarly, the third argument becomes:
No P's are Q.
S is a P.
Therefore, S is not a Q.
An argument is termed formally valid if it has structural self-consistency, i.e. if when the operands between premises are all true, the derived conclusion is always also true. In the third example, the initial premises cannot logically result in the conclusion and is therefore categorized as an invalid argument.
Valid formula
A formula of a formal language is a valid formula if and only if it is true under every possible interpretation of the language. In propositional logic, they are tautologies.
Statements
A statement can be called valid, i.e. logical truth, if it is true in all interpretations.
Soundness
Main article: Soundness
Validity of deduction is not affected by the truth of the premise or the truth of the conclusion. The following deduction is perfectly valid:
All animals live on Mars. (False)
All humans are animals. (True)
Therefore, all humans live on Mars. (False)
The problem with the argument is that it is not sound. In order for a deductive argument to be sound, the argument must be valid and all the premises must be true.[3]
Satisfiability
Main article: Satisfiability
Model theory analyzes formulae with respect to particular classes of interpretation in suitable mathematical structures. On this reading, formula is valid if all such interpretations make it true. An inference is valid if all interpretations that validate the premises validate the conclusion. This is known as semantic validity.[4]
Preservation
In truth-preserving validity, the interpretation under which all variables are assigned a truth value of 'true' produces a truth value of 'true'.
In a false-preserving validity, the interpretation under which all variables are assigned a truth value of 'false' produces a truth value of 'false'.[5]
Preservation properties Logical connective sentences
True and false preserving: Proposition • Logical conjunction (AND,
∧\land ) • Logical disjunction (OR,
∨\lor )
True preserving only: Tautology (
⊤\top ) • Biconditional (XNOR,
↔\leftrightarrow ) • Implication (
→\rightarrow ) • Converse implication (
←\leftarrow )
False preserving only: Contradiction (
⊥\bot ) • Exclusive disjunction (XOR,
⊕\oplus ) • Nonimplication (
↛\nrightarrow ) • Converse nonimplication (
↚\nleftarrow )
Non-preserving: Negation (
¬\neg ) • Alternative denial (NAND,
↑\uparrow ) • Joint denial (NOR,
↓\downarrow )