こんにちは。
（Ａ）・・・ I look forward to see you. 「会えるのを楽しみにしています。」
（Ｂ）・・・ I look forward to seeing you. 「会うのを楽しみにしています。」
どっちが正しいの？
答えはどちらも正解です。
ではどんなときに使い分けがされるのか？
(A)の方は実際会うか会わないかわからないときに使います。
例えば、英会話スクールの体験授業に行き、もし良かったら来週も来てね、というニュアンスの場合、
（Ａ）が使われます。会うか会わないかまだ確定してないときですね。
「体験授業は終わったけど、あとはキミが来週以降入会して授業を受けたいかどうか決めてくれ。ぼくは次回もキミに会えるのを前向きに見ているよ」というニュアンスですね。
（Ａ）・・・ I look forward to see you. 「会えるのを楽しみにしています。」
（Ｂ）・・・ I look forward to seeing you. 「会うのを楽しみにしています。」
一方、（Ｂ）の方はというと、会うのが確定しているときです。
確定と言ったらなんだかお堅い感じがしますが、口約束でもＯＫです。
例えば遠くにいる友人と会うときなんかがこれにぴったりですね。
なんらかの意志の疎通があり会う約束をしたことが前提で「会うのを前向きに見てます」というニュアンスになります。
会うとわかっている相手には（Ｂ）の方を使わないと、ダメです。
（Ａ）・・・ I look forward to see you. 「会えるのを楽しみにしています。」
（Ｂ）・・・ I look forward to seeing you. 「会うのを楽しみにしています。」
場合によって
会うとわかっている相手に（Ａ）の方を使うと失礼にあたってしまいます。
遠くにいる友人と会う段取りをつけているときに、
（Ａ）を使うと、「おいおいせっかくわざわざ遠くから会いに行くのに、to see you（会えるのを） はないだろ。」
となるわけです。会うか会わないかわからない微妙な感じがでてしまうからですね。
ですから
そんなときは to seeing you（会うのを） の方である（Ｂ）を使ってあげましょう。
seeing とing形にすることで、会う前提で物事が進んでいる感じがして、積極的に会うつもりがある感が相手に伝わります。
（Ａ）・・・ I look forward to see you. 「会えるのを楽しみにしています。」
（Ｂ）・・・ I look forward to seeing you. 「会うのを楽しみにしています。」
ＰＳ
アメリカ人でも間違える人結構います。
間違えるというより、誤字脱字のレベルですよね。
日本人も日本語の誤字脱字いっぱいしますよね。
それと同じです。
見てわかる通り、ingがついてるかついてないかの違いだけですからね。
意味が大きく変わるわけではないので、あまり気にする必要はありません。あしからず。
以上