判別式とは？
今日は、前回の解答と解説です。
２次関数とｘ軸との位置関係(共有点の個数)を求める問題は
①判別式Dの符号
または
②頂点のｙ座標
の２つが重要な鍵となります。
例えば、
『２次関数ｙ＝ｘ(の２乗)－４ｘ＋ｋとｘ軸との共有点を持つときの定数ｋの範囲は？』
『共有点を持つ』→『「ｘ軸と異なる2点で交わる。(D＞0)」または「x軸と接する。(D＝0)」』
⇔判別式D≧0
としてｋの範囲を求めます。
では、判別式Dとは何か？
あなたはきちんと説明できますか？
２次方程式 a(の２乗)＋bx＋ｃ＝0の解はどうやって求めるでしょうか？
ざっくり言ってしまうと、因数分解できないときは「解の公式」から求めますね。
つまり、解の公式
ｘ＝(－ｂ±√b(の２乗)－4ac)/2a
の√の中身→『b(の２乗)－4ac』を判別式Dと呼んでいるのです。
そして、
２次方程式a(の２乗)＋bx＋ｃ＝0
の解を求めるということは
ｙ＝a(の２乗)＋bx＋ｃとｘ軸(y＝0)との交点のｘ座標を求める
ということで
ｘ＝(－b±√)/2a
の√の中身→『b(の２乗)－4ac』が正ならば
(－b＋√)/2aと(－b－√)/2a
の２つの解を持つ。→共有点を２つ持つ。
『b(の２乗)－4ac』が0ならば
－b/2aの１つの解を持つ。→共有点を１つ持つ。(接する)
『b(の２乗)－4ac』が負ならば
√の中身が負になる→実数解を持たない。→共有点を持たない。
ということがいえるのです。
大事なことをまとめると
２次方程式a(の２乗)＋bx＋ｃ＝0
の解を求めるということは
ｙ＝a(の２乗)＋bx＋ｃとｘ軸(y＝0)との交点のｘ座標を求める
ということと同意。
判別式とは、解の公式の√の中身。
です。
また、２次関数とｘ軸との位置関係(共有点の個数)を求める問題は
判別式ではなく、頂点のｙ座標から求めることもできます。
グラフからイメージすればすぐにわかると思いますが
放物線が下に凸のグラフのとき、
頂点のｙ座標＞0→共有点なし。
頂点のｙ座標＝0→共有点１個。
頂点のｙ座標＜0→共有点０個。
となります。
次に、
２次関数ｙ＝a(の２乗)＋bx＋ｃと１次関数ｙ＝ｐx＋ｑの位置関係(共有点の個数)を求める問題は
２つの式からｙを消去した式
a(の２乗)＋bx＋ｃ＝ｐx＋ｑ
⇔
a(の２乗)＋(b－ｐ)x＋ｃ－ｑ＝0
として
a(の２乗)＋(b－p)x＋ｃ－ｑ＝0の判別式Dから求めればいいですね。
つまり、
ｙ＝a(の２乗)＋bx＋ｃとｙ＝ｐx＋ｑの位置関係を
ｙ＝a(の２乗)＋(b－p)x＋ｃ－ｑとx軸(ｙ＝0)との位置関係に帰着して考えることができます。
どうでしょうか？
判別式とは何か理解できましたか？
きちんと順を追って説明できるようにしてほしいと思います。
理解できているかを確認するための一番の方法は
友人に教えてみることです！
教える事で自分の頭の中が整理され、どこがわかっていないかがわかりますよ。
■解答
２次関数以外のグラフの位置関係をまとめたチャートです。
■グラフの位置関係チャート
※タイトルは関数の位置関係になっていますが、グラフの位置関係の間違いです。
２次関数とｘ軸との位置関係(共有点の個数)を求める問題は
①判別式Dの符号
または
②頂点のｙ座標
の２つが重要な鍵となります。
例えば、
『２次関数ｙ＝ｘ(の２乗)－４ｘ＋ｋとｘ軸との共有点を持つときの定数ｋの範囲は？』
『共有点を持つ』→『「ｘ軸と異なる2点で交わる。(D＞0)」または「x軸と接する。(D＝0)」』
⇔判別式D≧0
としてｋの範囲を求めます。
では、判別式Dとは何か？
あなたはきちんと説明できますか？
２次方程式 a(の２乗)＋bx＋ｃ＝0の解はどうやって求めるでしょうか？
ざっくり言ってしまうと、因数分解できないときは「解の公式」から求めますね。
つまり、解の公式
ｘ＝(－ｂ±√b(の２乗)－4ac)/2a
の√の中身→『b(の２乗)－4ac』を判別式Dと呼んでいるのです。
そして、
２次方程式a(の２乗)＋bx＋ｃ＝0
の解を求めるということは
ｙ＝a(の２乗)＋bx＋ｃとｘ軸(y＝0)との交点のｘ座標を求める
ということで
ｘ＝(－b±√)/2a
の√の中身→『b(の２乗)－4ac』が正ならば
(－b＋√)/2aと(－b－√)/2a
の２つの解を持つ。→共有点を２つ持つ。
『b(の２乗)－4ac』が0ならば
－b/2aの１つの解を持つ。→共有点を１つ持つ。(接する)
『b(の２乗)－4ac』が負ならば
√の中身が負になる→実数解を持たない。→共有点を持たない。
ということがいえるのです。
大事なことをまとめると
２次方程式a(の２乗)＋bx＋ｃ＝0
の解を求めるということは
ｙ＝a(の２乗)＋bx＋ｃとｘ軸(y＝0)との交点のｘ座標を求める
ということと同意。
判別式とは、解の公式の√の中身。
です。
また、２次関数とｘ軸との位置関係(共有点の個数)を求める問題は
判別式ではなく、頂点のｙ座標から求めることもできます。
グラフからイメージすればすぐにわかると思いますが
放物線が下に凸のグラフのとき、
頂点のｙ座標＞0→共有点なし。
頂点のｙ座標＝0→共有点１個。
頂点のｙ座標＜0→共有点０個。
となります。
次に、
２次関数ｙ＝a(の２乗)＋bx＋ｃと１次関数ｙ＝ｐx＋ｑの位置関係(共有点の個数)を求める問題は
２つの式からｙを消去した式
a(の２乗)＋bx＋ｃ＝ｐx＋ｑ
⇔
a(の２乗)＋(b－ｐ)x＋ｃ－ｑ＝0
として
a(の２乗)＋(b－p)x＋ｃ－ｑ＝0の判別式Dから求めればいいですね。
つまり、
ｙ＝a(の２乗)＋bx＋ｃとｙ＝ｐx＋ｑの位置関係を
ｙ＝a(の２乗)＋(b－p)x＋ｃ－ｑとx軸(ｙ＝0)との位置関係に帰着して考えることができます。
どうでしょうか？
判別式とは何か理解できましたか？
きちんと順を追って説明できるようにしてほしいと思います。
理解できているかを確認するための一番の方法は
友人に教えてみることです！
教える事で自分の頭の中が整理され、どこがわかっていないかがわかりますよ。
■解答
２次関数以外のグラフの位置関係をまとめたチャートです。
■グラフの位置関係チャート
※タイトルは関数の位置関係になっていますが、グラフの位置関係の間違いです。