∞人でジャンケンすると必ず「あいこ」になる。

塾に行ってないのであまりにネタがないのでどうでもいい話を書いて読者の気を紛らわす作戦に出ました、ハイジです。




昨日メェ（ヤギから戻した）の家で解析Cの勉強をしていたときにこんな話が出ました。



まず皆さん、次の文章を読んでみてください。

A、B、Cの順に濃い食塩水がある。

・・・読みましたか？



では、A、B、Cの食塩水のうち、どれが一番濃いと思いましたか？？


もし数学の文章題などでこういう文章が出たら、問題に不備があると指摘する人もいるかもしれません。


何故ならAから順に濃いのか、Cから順に濃いのかが不明瞭だからです。




でもなんとなく俺はこう書かれたら、Aが一番濃いと書いてあるように思えます。




同じくメェもAが一番濃いように感じると言います。




ポチャはCが一番濃いと感じるようです。




ポチャ　　『そりゃCが一番濃いやろ？？　だってさ、



　　　　　　　A、B、Cの順に大きい　って言われたらCが一番大きい感じせん？？』




確かに。　A、B、Cの順に大きい、と言われたらCが一番大きいような気がします。




ってことはさっきの例もCが一番濃いのか・・・と納得しかけたそのとき、




アズ　　『でもさ、　

　　　　　A、B、Cの順に速い　　って言われたらAが一番速くない？？』

確かに！！　それだとAが一番速いような気がする！！



日本語というのは面白いものです。　皆さんは上の文章に対してどう感じますか？？









それとこの日、ポチャが塾で生徒に質問された話をしました。




ポチャ　　『２人でジャンケンして「あいこ」になる確率って３分の１やん？



　　　　　　３人でジャンケンして「あいこ」になる確率も３分の１やろ？』




ちょっとだけ解説しましょう。




２人でジャンケンをする場合、１人が出す手は「グー」「チョキ」「パー」の３通り。


３通りのパターンで手を出す人が２人いるわけなので、全体の場合の数は３の２乗です。




そのうち「あいこ」になるのは、２人が同じ手を出す３通りです。




よって２人でジャンケンして「あいこ」になる確率は３／９＝１／３（３分の１）となります。




次は３人でジャンケンした場合ですが、さっきと同様全体の場合の数は３の３乗通り。



そのうち「あいこ」になる場合の数は、全員が同じ手を出す３通りと、全員が一つずつ異なる手を出す３！通り、合わせて３＋６＝９通りです。




よって３人でジャンケンして「あいこ」になる確率は９／２７＝１／３（３分の１）となります。




つまり２人でジャンケンしようが３人でジャンケンをしようが「あいこ」になる確率は等しいわけです。

ポチャ　　『んでさ、こないだ生徒に、「じゃぁ４人でやっても３分の１になると？？」って聞かれたんよ。』




俺とメェは確率論専攻なので、こういうの聞かれたらなんか燃えますｗ




というわけで"ｎ人でジャンケンをしたときに「あいこ」になる確率"を計算してみました。




まず先ほどまでと同様、「グー」「チョキ」「パー」の３通りの手を出しうる人がｎ人いるわけなので、全体の場合の数は３のｎ乗通りになります。




次に「あいこ」になるときの場合の数を求めたいのですが、これを「３人が同じ手で４人が同じ手で・・・」といちいち場合分けしてやってると日が暮れるので、


逆に「勝負が決まる場合の数」を求めて、先ほどの全体数３のｎ乗から引いてやって求めます。

まず、ジャンケンで勝負が決まるためには３種類の手が出ては困るので、全員が同じ２種類の手「グー」「チョキ」しか出さない場合の数を求めると、２のｎ乗通りになります。


でもこの中には「全員グー」「全員チョキ」という場合の数も含まれてるので、これから２通りを引いて、（２のｎ乗－２）通り。


これが「グーとチョキしか出ないで勝負が決まる場合の数」です。




図を見て分かる通りあとはこれを３倍すると「勝負が決まる場合の数」＝３(２のｎ乗―２)通り




　「あいこになる場合の数」＋「勝負が決まる場合の数」＝「全体の場合の数」　なので、



　「あいこになる場合の数」＝「全体の数」－「勝負が決まる場合の数」


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　３のｎ乗　－　３(２のｎ乗―２)　　　通り　　　になります。




よって、ｎ人でジャンケンして「あいこ」になる確率は、｛３のｎ乗ー３(２のｎ乗ー２)｝／３のｎ乗　となることが分かります。



当然この式にｎ＝２、ｎ＝３を代入すると１／３になるわけです。



ちなみに４人でジャンケンして「あいこ」になる確率は１３／２７です。




皆さん今までの経験上、あまり多くの人数でジャンケンしてもなかなか勝負が決まらない、というのは知っておられると思います。




上で求めた「ｎ人でジャンケンしてあいこになる確率」＝｛３のｎ乗ー３(２のｎ乗ー２)｝／３のｎ乗　を２以上の自然数ｎに対する数列と見れば、


これは単調非減少な数列で、ｎを無限に大きくしていくと１に収束します。


今日の日記のタイトルの意味が分かってもらえたかとｗ

数学科っていうのはこういうことを日々考えて生きている気持ちの悪い集団だと思ってもらって結構です・・・。









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