正多角形の勉強をしていますので，少し教材研究をしてみたいと思います。普通「正ｎ角形」といったときのｎには「自然数」が入ります。普通は「３以上の自然数」になります。しかしそれ以外の数，例えば「分数」などは当てはまらないのでしょうか。何を馬鹿なことを言っているんだ，と言われるかもしれませんがこれが面白いことに存在するのです。
左の式はよく見かける式だと思います。上は「ｎ角形の内角の和」を表したものです。その値をｎで割った下は「正ｎ角形の１つの内角」を表しています。例えば正１０角形であればこの式を適用して１つの内角は「１４４°」になると思います。
左の式はよく見かける式だと思います。上は「ｎ角形の内角の和」を表したものです。その値をｎで割った下は「正ｎ角形の１つの内角」を表しています。例えば正１０角形であればこの式を適用して１つの内角は「１４４°」になると思います。
この下の式が「３６°」，つまり１つの内角が３６°になる正多角形を探してみましょう。この方程式を解いてみるとｎ＝５／２となります。つまり１つの内角が３６°になるのは「正５／２角形」ということです。確かに計算上はこのようになります。しかしこのときの「図形」はどのような形になっているのでしょうか。このことを正多角形の定義に従って作図してみたいと思います。
正多角形は辺の長さが等しく，角度も等しいので，まず一本の直線を引き，３６°の線をとった後，先の直線と同じ長さにします。次に２本目の直線の端からまた３６°をとり，長さが等しくなるようにします。すると５本目の直線の終点が，一本目の直線の始点と重なり，１つの図形が完成します。よく見かける「星形」になっています。実はこれが「正５／２角形」なのです。「へー，こんな形なの。」
と言われるだけで終わりそうです。しかしもう少し掘り下げてみると不思議なことが分かってきます。
実は先の星形は，「円周上に５つの点を等間隔でとり，２点おきにつないでいったとき」にできる形なのです。この２つの数字が分母と分子に来るようになっているのです。例えば「正８／３角形」は「円周上に８つの点を等間隔でとり，３点おきにつないだ形」になっているのです。このような形は「星形多角形」と言われているようですが，正ｎ角形の考え方とつながっているのです。数学って本当に不思議なものだと言わざるを得ませんね。
