返却されたので、詳しい感想を書いておきます。
まず3番から
二曲線の交点の問題でした。
東大で一点でも～に書かれてあることですが、
凹凸の同じ曲線の交点の様子をグラフからではなく式で判断する
ことが大切だったのではないかと思います。(図形的に確実に判断できる事実は積極的に利用すべきだとは思いますが思い込みは危険ですね....)
異なる3点で交わるは
方程式が異なる三つの実数解を持つと言い換えれます。
それから
正の等差数列をなすので
a<B<rという大小関係がわかります。
d(>0)とすると、解と係数の関係はBとdを用いて表すことができます。(文字が減るので嬉しいですね。)
そのあとは自分は図形的にどの角度が90度か判断できるのかと思ったのですが、一つを計算するとすぐに対称性があるとわかったので、3通りの場合分けをしてもそんなに時間を食わないと判断して、解きました。
一つを計算する
についてですが、
(今回直角三角形とあるので、三平方の定理か？と思ったりするかもしれませんが、そうすると2乗の計算になるので、面倒です。)
A,B,Cはy=1/x上の点なので1次の成分で表せて、ベクトルの内積が0であることを使いました。(垂直だったら内積0~というダンスが思い浮かびました笑)
結果的に一つだけが満たすのですが、残りの2つについては実数解を持たないことから不適であるとしました。
また最後の最小の角度については
辺の大小と角度の大小関係からすぐにわかりました。
今回は以上です。