単位とかそういうやつ

まずは、方程式を立てるところから考えてみましょう。

１個１００円のりんごを１個と、１個６０円のみかんを３つ買います。

①全部でいくつでしょう。

②全部でいくらでしょう。

ってのはまぁ遊び半分なんですが、

もちろん、①１＋３＝４　②１００×１＋６０×３＝２８０

文字を使うとか、そういう問題の前にですね

「方程式を立てよう！」って問題の時のコツは、「単位」を考えることなんですね。

①の場合、なんだか関係ない「１００円」とか「６０円」とか、そんなの出てきません。

しかし、②ではどうでしょう。

まず考えなければならないのは、たとえば「６０（円）×３（個）」が「１８０（円）」になることですよね。

かけ算の順序は入れ替えてもよいので、「３個×６０円」…これも、「１８０個」ではなく、「１８０円」になるんですよね。

これは一応決まりがあって、「かけられる数」と「かける数」というものなんですが。

その、「かけられる数」の単位がそのまま付く、という決まりがあります。

決まりというか…まぁ是非、最後まで読んで判断してください。

で、式を考えるポイントはですね

さらに、イコールをはさんで「単位」が同じ、ということですね。

言ってみれば、①は「個数」に対しての式、②は「値段（円）」についての式、と言ったわけです。

「個＋個　＝　個」　「円＋円　＝　円」

というのは当たり前なのですが

この当たり前が、なかなか出来ないんですよねー。

文字を使った方程式、とか、中学校になって途端に難しい＞＜とか思われた方、多いと思うんですけど

まぁ私もそのうちの一人でしたからね…。

私が中学校の内容の方程式を立てられるようになったのは、実は最近なんで…あんまりいばれないんですが…

なにかポイントがあるとすれば、やはり「単位」に注目すること

そして、イコールの両辺は、天秤に乗っけたように等しい、ということです。

この発想だけで８割は解けますね。たぶん。

「距離＋距離　＝　距離」とか、それと「道のり　＝　速さ×時間」とかを組み合わせたり

そういうのが方程式を立てる、という段階です。

ではですね。残りの２割はなんですかって話なんですけど

発想力の問われる問題、というのは置いといて、

あれです。「ある２ケタの数の１０の位と１の位の数を交換すると…」みたいな、「単位のない」問題ですかね。

まぁこれも、天秤に乗せて同じになるかな？って考えるのがいいんですが

この前、ぼそっと話をしたように、「単位」と「数字」の関係なんですが

２次方程式、というのがあります。便宜上、ある数Ａの２乗をＡ＾２と書くことにしますと

Ａ＾２＋２Ａ＋１＝０

これが２次方程式ですね。正しくは、１元２次方程式。中学校３年生の内容になりますか。

これを解け、って言われたら、まぁわかる人はわかるでしょうけど、Ａ＝－１ですね。

？って方は、実際代入して＝０になるか、それか教科書を見直すか友達に聞くかしてください。

ではこれを、「単位ありきの式」として見てみましょう。

たとえば…そうですね。

ある数Ａの単位を、メートルにしてみましょう。つまり、Ａ (メートル)について考えてみます。

すると、Ａ＾２とはＡメートル×Ａメートルなので、Ａ＾２ (平方メートル)をあらわすことになりますね。

さて、ここで問題が。

Ａメートル、というのは、長さのことでした。

そして今、Ａメートル×Ａメートル＝Ａ＾２平方メートルなのですが

これは面積を表します。

Ａ＾２ ＋ ２Ａ ＋ １ ＝ ０

あれ、式の中に、「面積＋長さ」という、わけのわからないものが…？？？？

これじゃあ計算できませんね。じゃあこの式はダメってことにしますか。

ー完ー

…ってわけにはいかない、ってのはもうお分かりでしょうか。

この方程式には、ちゃんと答えがある、と上で書きましたもんね。

とりあえず、Ａ＝－１ですから、負の数ですよ、ってのは置いといて下さい。

今回の問題は、「面積＋長さ…？？」ってことにしぼります。

実はこの議論は、もう数百年前に起きていました。

こんな方程式おかしいよ！だから２次方程式なんて無理なんだよ！！という人も多くいたそうです。

だって、面積と長さとか足せないですもんね。

しかし、ある人は考えました。ごめんなさい、ちょっと誰だか忘れましたが、有名な方です。

Ａ＾２（メートル）という長さがあるではないか！

確かに！

単位のかけ算に気を取られて、たとえば、２＾２＝４ですし、３＾２＝９…４メートルも９メートルも、実際に存在しますもんね。

ちょっと数学的な話になりますと、今ではこれは「写像」という考え方で説明ができます。

よく知っている「関数」とか、以前の「操作」、「対応」というのと一緒だと思ってもらえればいいんですが。

あ、ざっくり読み飛ばしてもらっても構いません。

メートル×メートル＝平方メートル、というのは、１次元から２次元への写像

…この場合は、「関数」を思い出してください。ｘｙ平面にグラフを描きましょう、って感じですかね。…（１）

一方、　　

Ａメートルに対して、Ａ＾２「メートル」を考えたのは、１次元から１次元への写像を考えた、という風になります。

…これは、数直線の上で「１，２，３，…」と考える、ということに似ています。…（２）

一般に、

１次元、というのは「線」

２次元、というのは「平面」　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　←画面の中、というのはこっちです。

３次元、というのは「立体」　←人間はここにいる、と言われていますね。　

わかりやすく「単位」を設定しましたが、もちろんこれは単位などいらず、普通の「数字」でも通じるところです。

で、このような話をスキップしていって、中３では２次方程式をやると。そういうことです。

わかりやすさ、現実味を帯びている、と言えば、（１）のほうが人気でしょうね。

ですが、（２）でＡ＾２メートルって考えても、別におかしいことは言ってませんよね。

この（２）を考えたことによって、２次方程式は解けるようになったわけです！めでたしめでたし。

ちなみに、「おかしいことは言っていない」ということと、「数直線がひける」ってことは、実は同じことなんです。

これを詳しく言うのは難しいので書きませんが…

ま、普通のことですからね。

あれなんですよ。「普通のこと」ほど、証明は難しいんですよ…。。

まぁそれはいいとして

とにかく、Ａ＾２ ＋ ２Ａ ＋ １ ＝ ０は、「単位で考える」と多少ややこしいですけど

…だって、単位を考えだしたらそれこそ、「マイナス１メートルなんてないよ！」って話にもなりますもんね。

単位を考えなかった場合、答えはポンと見つかるわけで。

私達は普通の数、言わば、「Ａ＾２という数字って、確かにあるよね」と、暗黙のうちに理解しているわけです。

うわー実数の連続性とかの話をとてもしたい…のですが…まぁいいか。興味があったら調べるか、聞いてもらっても構いません。

ちなみに、上に書いたことも、数学的に見たら全然厳密ではありません。

ですが、わかりやすさを重視していったらこんな感じに…まぁわかりにくいですけどね。。。

気になる方は、ところどころに「実数」という言葉を補いながら見るといいかもしれません。たぶん。　　

あと、「単位と数字の世界がつながる不思議」って話でしたね。

今、上で見てきたとおり、「単位」と「数字」の関係は、どうやら何かしらあるようですね。

以下では、それについて見ていきましょう。

まずはじめに登場するのが数字。例えば、「３」という数字について考えると

これは、ただの「さん」です。３個の３、でも、３メートルの３でもなく、ただの「さん」です。

ではもうふたつ、「４」「７」という数字を考えてみます。これも。ただの「よん」と「なな」です。

そして私達が知っているとおり、３＋４＝７、というわけなんですが

「３」に関する計算って、これだけじゃなくて、例えば３×８だったり、３÷３×５だったり、いろいろなんですが

それって、全部「さん」に関する知識ですよね。

でも実際問題として考えてみると、

確かに、３個＋４個＝７個、だったりしますよね。

そして、この「３個」の「３」は、まぎれもなく、数字の「さん」の性質を全部持っていそうです。

数学は哲学、とよく言われますが、きっとこういうところなんでしょうね…。

今まで何気なく「３個と４個合わせたら７個でしょ」って言ってきた、その「３」は一体なんでしょう？

それは、数字の世界における「さん」の性質を満たすような数を、そのまま借りている、と言ってもいいと思います。

これは数字だけではなく、例えば図形にも見えます。

「点」とか「線」って、まぁ鉛筆とか定規で書きますよね。

あれ、実はウソ…って、知ってる方もいるでしょうけど

「線」というのは、「面積を持たない…」というのがもともとの決まりです。ユークリッド原論に書いてありますから、これは紀元前からの決まりなんです。

でも、エンピツで書いている以上、「線にも太さができてしまう」。

言ってみれば、「線を描いているつもりなのに、面積ができてしまう」。

これでは「線」は描けませんよね。

じゃあどうすれば描けるの？？とか

描いてみてくださいよーとか、言われたとしましょう。

答えは、「描けない」です。

なんか、意地悪な小学生とかが言いそうですよね。「線って描けないんだぜ～」みたいなね。

まぁそれは事実なんですが。

ポイントは、「私達が３次元の世界にいるから」なんですけど

もっと言えば、「メートルという単位を持つ、３次元の世界にいるから」と言えばいいんでしょうか。ちょっと足りてないですかね。

言ってしまえば、この世界にいる以上、この世界のこと以外は描いて考えられない、ということになります。

１次元…線は描けませんし

２次元…絵を描いても、エンピツの黒鉛の厚さがありますから、本当は３次元ですし。

　　　　　 パソコンの画面だって、厳密に言えば３次元ですもんね。

化学的な話だと、原子が３次元なんでね。やっぱそれから構成されるこの世界も３次元なんですね。

そうかー、じゃあ、数学も本当は３次元を考えていることになってるのかー

っと、それは違います。

数学で考える２次元は、あくまで本当の「２次元」なんです。ちょっと奇妙な感じもするかもしれませんが。

「厚さとか長さとか、そういうものが全くない」というのが、「さん」という話とつながります。

やはりこれは、「単位のない世界」のことなので

実質「面積をもたない」、つまり、本当の意味での「線」を考えることができるわけです。

実際、そこから本当の意味の「面積」とか求まるでしょう？

えー、じゃあ数学とか役にたたないじゃん。だって現実とは違うこと考えてるんでしょ？

ってのも違います。

確かに、私達の住む世界では、とうてい本当の「面積」が描けるわけではない、というのを書いてきましたが

え？じゃあその求めた面積は、本当に正しくないの？って聞かれれば、それは本当に正しいことなんです。

線なら長さ、立体なら体積、といったものがキチンと求まりますよね。

そしてそれが、この現実でもしっかり利用されている。

利用されている場面は、みなさんの身の回りのほとんどです。

この世界には、少なくとも「単位」があって、「数字」だけの世界は存在しない。

しかし、「数字だけの世界」を考えることによって、私達の「単位のある世界」に、少なくとも役割を果たす。

これが数学の利用価値のひとつである、と思います。面倒な「単位」にとらわれず計算できたりね。

数学を勉強する意味でもありますし、おもしろい部分でもありますし。

で、最後に答えなければならないのは、

単位と数字って、なんでつながるの？という疑問に対しては

ま、書いてある通り、「不思議だね～」って答えしか返せませんね。

ですが、なんだよじゃあ意味ないじゃん、ではなく

算数や数学をやるときには、

「３個」と「さん」に見てきたように、「不思議とつながる」の「つながる」の部分が、大事なことなんですね。

ということで、おもしろい部分であると同時に、認めなければならない「不思議」と言えるわけです。

ですが、「これは不思議なことなんだよー」って、先生は教えないじゃないですか。

それは、先生が知らないからです。それかあえて教えないか。

ちょっとニヤッと思った人は、上に書いたようなことを今度先生に聞いてみてくださいね。

「先生、線を描いてみてくださいよー」　→　「えーでも、これじゃ本当の意味の「線」じゃないですよねー＾＾」

みたいなね。

こうして、全国の先生方が困ることを私は祈っています　（おい

たとえば、先生でなくとも、「それは不思議なことなんだよー」とか…百歩譲って、「しかたないんだよ、描けないんだから」って返してくれる人はすごいと思いますね。

「不思議とかｗｗｗ描けないとか日和ってんじゃねぇよｗｗｗｗｗｗｗ」じゃないんですよホントに！

真面目に「不思議」なんです。「仕方ない」んです。

改めて、哲学ですよね…。。。