二項定理

あのですね

はっきり言って

日常で数学を使おう！！

なんて、無理無理ｗｗｗｗな話なんです。

ということで、二項定理、やっていきます。

まぁ、普通のことやっても面白くないんで、視点を変えて見ましょう。　

例によって、文字サイズは一つ大きめです。

よく見かける

ΣnCk・a^n・b^(n-k)　＝　(a+b)^n

というのが二項定理です。

（x^yは、「xのy乗」のことです。

もひとつ、Σは「1からnまでの和を表す」ことにします。うまく書けなかったんで許して下さい。）

するとですね

左辺は「和」です。

右辺は「n乗」…つまり「積」です。

なるほど。足し算とかけ算がイコールで結ばれるわけですね。

…とまぁ、これはそんなに珍しいことではありません。「因数分解」なんかもそうです。

ですが、数学的に見ると、非常に富んだ考え方と言っていいでしょう。

数学はめっぽう、実はいろんなつながりがある、ということが多いです。

数式を見ていると、なにやらｎが私達を呼んでいるようですね。

「おいぶつもり、俺は自然数ｎなんだから、１から順番に考えて行ってもいいんだぜ？

俺にはあの有名な人が味方についてるんだからな！」

…なかなか気の強いｎ君ですが、まぁ言う通りにしましょう。

n=1 (a+b)^1＝a + b

n=2 (a+b)^2＝a^2 + 2ab + b^2

n=3 (a+b)^3＝a^3 + 3a^2・b + 3a・b^2 + b^3

…

ははーん、なるほどね。

みなさんは、「パスカルの三角形」をご存知でしょうか。

　　　　　　　　　　１

　　　　　　　　　１２１

　　　　　　　 　１３３１

　　　　　　　　１４６４１

　　　　 １５1010５１

　　　　　　…

例えば、赤い部分　1+3=4

青い部分　 6+4=10

のように

足し算で下の数を決めて三角形を作っていく…それが「パスカルの三角形」。

確かに、あのパスカルさんと関係があるなんて…すごいな二項展開。

あ、「二項定理」って言ったり、「二項展開」って言ったりします。おんなじです。

そしてまさにその通り。

ｎを順番に計算していくと、展開した後、各係数に今出てきた数が当てはまります。

「二項展開」って言った方が、「パスカルの三角形」は想像しやすいでしょうか。

足し算によって次が決まる…というのは、数学的には他にも色々あります。

有名なのが「フィボナッチ数列」

最初の数は１　次は１にしておきましょう

すると、その次は１＋１＝２

次は１＋２＝３

次は２＋３＝５

次は３＋５＝８

…

というふうに、前の２つの足し算により、どんどん次を考えていきます。これがフィボナッチ数列。

ただ単純に「遊びじゃないか」と思うかもしれませんが

この作り方は、非常に！本当に！ベリーベリーインポータント！！重要なんです！

具体的に紹介すると長くなってしまうので、興味がある方だけ調べていただければいいんですが。

つまりですね、同じように、足し算で構成された「パスカルの三角形」は、実は優秀なのでは？という期待が沸いてきます。

ただの文字の羅列ではなく、規則正しい三角形も表現しているというスグレモノなんですね。

じゃあ「三項定理」なんてのは…と考えるのもおもしろいです。

一体どんな図形になるでしょうか…考えてみてくださいね。

しかし、この式の土俵は　

実はですね、高校までの数学ではないんです。

この式を「微分」という操作を取り入れて考えてみたり（「微分」「積分」は高校の内容ですが、この式を微分することはしません。）

高校でも少し、「確率」でお目にかかるかもしれません。でも、それより大きな土俵としての「確率」が存在して、そこでも暴れまわります。こいつは。）

ということはですよ

勘のいい方はもうお気づきでしょうか

確率と微分積分の間には、なにか関係があるんじゃないか…？？

そうなんですよ。それを代表して「ルベーグ積分」なんてものがあります。←簡単に言うと、高校までのとはまた違った積分の方法です。

極端な話ですが　

これはカナヅチだーって知ってたって

使い方知らなきゃなんにも意味ないですよね。

「二項定理」も、また同じだと言えるんじゃないでしょうか。

その数式をただ覚えて使うだけでなく

そいつの持っている可能性…上に書いてあるようなことをですね、知っていた方が

使ってるこっちも楽しいはずです。

たぶん、「覚えてなにが楽しいんだかわからない数式」って

たっくさんあると思うんですよ。

相加平均・相乗平均　とかね。

実はそいつらにも、意外な使い道があったりするものなんです。

「おいおい…お前はいいけど、俺たちは今後数学なんて見たくもないぜ…」

と思っている方々も多いでしょうけど…

高校までの数学って、私達にとっては…というより、私達にとっても

まだまだ甘い数式達なんです。

でもそいつらがいないと…基礎ですからね。

まぁ要するにね、一番最初に戻るわけですよ。

生活にいかそう！なんて無理ｗｗｗｗｗｗなんです。

それは、「今すぐ役に立ちそうにないから」でしょう？

でも

言葉は、やがて変わっていきます。　

地球の環境だって、変わりつつあります。

そこで数学は？　

私達の意思にかかわらず

その数式は未来永劫、形を変えることはありません。

そこが数学のステキなところだと、私は思っています。

役に立つか役に立たないかではなく

「役に立たせるのは自分かもしれない」

と思っていると、数学は結構楽しいものだと思います。

長くなりました。それでは「二項定理」終わりっ！