お久しぶりです。
数学のお勉強がしたいですが、なかなか上手く行かないこの頃。
今回は完全にメモ帳です。
シュワルツ不等式からの発展で、僕の中でベクトルと関数とフーリエ級数が繋がったので書いてみました。こういう繋がりを見つけられるのが数学の楽しさのひとつですかね。
メモ
数Ｂあたりでベクトルを習うと、必ず出てくるのが一次独立とかいう単語。
二つのベクトルが零ベクトルでなくかつ平行でなければ一次独立といって、それを使って問題を解いていったりすることがしばしばあります。
そもそもベクトルというのは、数Ｂで習う平面、空間ベクトルから分かる通り、いくつかの基底ベクトル（基本ベクトル）を実数倍して得られるものだと考えることが出来ます。
そこで必要な基底ベクトルの数は、平面であれば2つ、空間であれば3つ、といった具合ですが。
ここでn次元空間と言うものを考えて見ましょう。
n次元空間というと、たとえば4次元なんていうと空間+時間みたいに考えがちですが、それは4次元時空の話であって、4次元空間というとある一点を(n1,n2,n3,n4)といった具合に4つの座標成分で表すことが出来るものです。
基底ベクトルというのは、(1,0),(0,1)だったり(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)といったものですから、n次元空間において基底ベクトルはn個あるというのは容易に想像がつく話です。
厳密な話は置いておきましょう。
0次元空間は点ですね。
n次元空間は直交座標軸がn本あると考えられますが、4次元以上では想像もつきません。
では無限次元は…？
これは関数を用いて考えることが出来ます。
(-∞,+∞)において連続な関数f(x)を考えましょう。このときf(x)はxの値に応じて無限個の値をとります。
∞次元ベクトルは、(n1,n2,n3,n4,...,nk,...)と考えられますが（このような表記が適切かはともかく）、このときn1,n2,n3,n4,...,nk,...に対応する値をf(n1),f(n2),f(n3),...,f(nk),...と考えればどうでしょう。
こう考えるとf(x)は∞次元ベクトルとなりうるわけです。
さらにいうと、n次元ベクトルの大きさの二乗は各成分の二乗の総和、n次元ベクトルの内積は二つのベクトルの各成分の積の総和ですから、これを∞次元に持っていくと積分と繋がるわけです。
シュワルツの不等式（|∫f(x)g(x)|^2 ≦ ∫f(x)^2・∫g(x)^2 ）は、ベクトルで出てきますが、積分でも出てくるのはこういうことなんです。
∞次元ベクトルの内積が定義できれば、それが0になることで直交する関数と言うものも定義できます。
計算は省略しますが、正弦波sinxと余弦波cosxは直交しています。
直交しているなら、これらを基底ベクトルとして考えることは出来ないでしょうか？
そうして考えられたのが、フーリエ級数というものです。
メモ終わり
数学のお勉強がしたいですが、なかなか上手く行かないこの頃。
今回は完全にメモ帳です。
シュワルツ不等式からの発展で、僕の中でベクトルと関数とフーリエ級数が繋がったので書いてみました。こういう繋がりを見つけられるのが数学の楽しさのひとつですかね。
メモ
数Ｂあたりでベクトルを習うと、必ず出てくるのが一次独立とかいう単語。
二つのベクトルが零ベクトルでなくかつ平行でなければ一次独立といって、それを使って問題を解いていったりすることがしばしばあります。
そもそもベクトルというのは、数Ｂで習う平面、空間ベクトルから分かる通り、いくつかの基底ベクトル（基本ベクトル）を実数倍して得られるものだと考えることが出来ます。
そこで必要な基底ベクトルの数は、平面であれば2つ、空間であれば3つ、といった具合ですが。
ここでn次元空間と言うものを考えて見ましょう。
n次元空間というと、たとえば4次元なんていうと空間+時間みたいに考えがちですが、それは4次元時空の話であって、4次元空間というとある一点を(n1,n2,n3,n4)といった具合に4つの座標成分で表すことが出来るものです。
基底ベクトルというのは、(1,0),(0,1)だったり(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)といったものですから、n次元空間において基底ベクトルはn個あるというのは容易に想像がつく話です。
厳密な話は置いておきましょう。
0次元空間は点ですね。
n次元空間は直交座標軸がn本あると考えられますが、4次元以上では想像もつきません。
では無限次元は…？
これは関数を用いて考えることが出来ます。
(-∞,+∞)において連続な関数f(x)を考えましょう。このときf(x)はxの値に応じて無限個の値をとります。
∞次元ベクトルは、(n1,n2,n3,n4,...,nk,...)と考えられますが（このような表記が適切かはともかく）、このときn1,n2,n3,n4,...,nk,...に対応する値をf(n1),f(n2),f(n3),...,f(nk),...と考えればどうでしょう。
こう考えるとf(x)は∞次元ベクトルとなりうるわけです。
さらにいうと、n次元ベクトルの大きさの二乗は各成分の二乗の総和、n次元ベクトルの内積は二つのベクトルの各成分の積の総和ですから、これを∞次元に持っていくと積分と繋がるわけです。
シュワルツの不等式（|∫f(x)g(x)|^2 ≦ ∫f(x)^2・∫g(x)^2 ）は、ベクトルで出てきますが、積分でも出てくるのはこういうことなんです。
∞次元ベクトルの内積が定義できれば、それが0になることで直交する関数と言うものも定義できます。
計算は省略しますが、正弦波sinxと余弦波cosxは直交しています。
直交しているなら、これらを基底ベクトルとして考えることは出来ないでしょうか？
そうして考えられたのが、フーリエ級数というものです。
メモ終わり