1つ前の記事と2つ前の記事の時間差が2年という素晴らしい感じです。
とりあえずメモ的な感じで、記事を書いていこうかなと。
というか、自分を理解させるために書いているみたいな感じです。
（※数Ⅲ積分と戦闘中という学生のメモ的な感じなので、間違ってる部分が多くあるかもしれません）
数ⅢＣでは新しく無限という概念が導入されて、楽しくなってきたのですが。どうも直感的な部分が多すぎるように思います。いや、もちろんそういう感覚的な部分も大切だと思いますが。
教科書を読んでるとε-δ(Ｎ）論法ぐらいは、やってもいいんじゃないかなぁと思ったり…。
でも受験的ではないですね。それなら仕方ない。
-無限の種類？-
さて、そんな無限ですが、単に無限といっても種類があるということが今回メモしたいことです。
天才数学者ゲオルグ・カントールによって、超限数と名づけられてたそうです。
超限数は、ヘブライ文字のא(アレフ)という文字を使って表すそうです。（某団体を思い浮かべないように…）
しかし、数学も文字記号不足感がありますね…。
この超限数、現代においては濃度という概念となっています。
最も濃度の低いものは、アレフ・ヌル（アレフ・ゼロ）と定義し、次に大きいものをアルフ・ワン、その次に大きいものをアレフ・ツーと定義していくとします。
アレフ・ヌルは、可算濃度であり、すなわち可算集合の濃度、数えられる集合の濃度です。
ここで、数えられる集合とは、自然数集合と一対一対応である集合のことです。自然数や整数、偶数などは可算集合です。つまりアレフ・ヌルの濃度を持ちます。
ところが実数は、アレフ・ヌルより大きい濃度を持ちます。
ということを言うためには実数集合と自然数集合が一対一対応でないことを証明しなければいけません。
ここで用いられる証明法が、有名なカントールの対角線論法です。
-カントールの対角線論法-
証明したい事は、実数集合Ｒが非可算集合だということです。
[証明]
開区間(0,1)において、Rが可算集合であると仮定する。
そうすると、実数に番号をつけてα1,α2,α3,…,αn,…と表記することが出来る。
なお、ここでは全ての要素を無限小数で表しておく。すなわち、有限小数の二通りの表記のうち 0.25＝0.24999… の右辺側の表記を採用する。
（この等式が成り立つ事は少し前の記事で微妙に触れてますね…。２年前の話ですが。）
ここで、αnの小数第m位の数字をAnmとすると、Anm={0,1,2…,9}で、
(0,1)の全ての実数は
α1＝A11 A12 A13...
α2＝A21 A22 A23...
α3＝A31 A32 A33...
...
と表すことができる。
この中で、Annに位置する数字について、
Ann≠1ならば Bn＝1
Ann＝1ならば Bn＝2
となるようなBnを定める。
さらに小数βを
β＝ B1 B2 B3...
と定める。
するとβは0<β<1で、(0,1)に含まれる数であるが、どのαnとも一致しない。
なぜならばαnとβは小数第n位が必ず異なるからである。
矛盾が生じた。
したがって、開区間(0,1)においてRは非可算集合である。
[Q.E.D]
また、ここで、α1,α2と縦に書いていくと、AnnすなわちA11,A22,A33,…は対角線上にある。
これがカントールの対角線論法という名前の由来であるとか。
ごちゃごちゃ書いてますが、要するにありえない小数が簡単に設定できちゃうということですよね。
さて、これだけでは開区間(0,1)の話だけであって、実数全体の話は出来ていません。
が、ここから先は少しズレるので、ここでは省きます…。
とりあえず、ここではRは非可算集合であるとします。
-実数集合の濃度-
ともかくここから先は結構微妙なラインの話になってきます。
上記より、実数集合は非可算集合で、自然数集合と一対一対応でなく、アレフ・ヌルよりも濃度が大きいことになります。じゃあ、実数集合はアレフ・ワンなのかというとそうではないそうです。
ここでいくつかの事項を書きます。
①濃度kの冪集合は2^kであらわされ、2^k＞kはカントールによって示されている。
（冪集合とは、"与えられた集合から取り出されうる部分集合"の集合です。つまり集合S={1,2}とすると、冪集合は、{Ø,{1},{2},{1,2}}です。）
②濃度アレフ・ヌル(ℵ0)の集合、すなわち可算集合の冪集合は、実数集合である。すなわち2^ℵ0＞ℵ0である。
③(Wikipediaいわく)数学の体系の多くの自然な拡張において、2^ℵ0＝ℵ2が成り立つ。つまり、実数集合の濃度はアレフ・ツーであると考えられる。
ここら辺は僕も事実しか分かりません。おまけにアレフ記号があまり使えない記号のせいで、余計に複雑に見える…。とりあえず、実数集合の濃度はアレフ・ワンではなくアレフ・ツーと考えられていること、が重要そうです。
-連続体仮説-
「ヒルベルトの23の問題」の第1問題です。
アレフ・ヌルとアレフ・ツーの間の濃度、すなわち可算濃度と連続体濃度は存在しないという仮説です。
実数は公理より連続しているので、実数集合を連続体集合というそうです。
（この実数の連続性の公理については、ロピタルの定理の証明における第１段階、最大値・最小値の定理の証明に用いられるそうですね。高校レベル、大学の最初のレベルにおいては、この定理を自明としてロピタルの定理の証明に入ってしまうので、非常に気になってます。僕が理解できて、機会があったら書いてみたいと思います。）
この問題は、要するに連続体濃度がアレフ・ワンであるかと言う話です。
また、自然数集合より大きく、実数集合より小さい集合があるかどうかという話でもあります。
さて、先ほども言ったとおり、実数集合はアレフ・ワンではないと普通は考えられているそうです。
この連続体仮説は、ゲーデルとコーエンという二人の数学者によって、証明も反証も出来ない命題であることが証明されました。といってもこれは、ZF公理系(ツェルメロ-フレンケルの公理系)や、ZFC公理系(ZF公理系に選択公理を加えたもの)においてでの話であって、ゲーデルはもっと良い公理系を選べば偽であると証明できると考えたそうです。
また、連続体仮説は、ZFC公理系と独立であると知られています。つまり、ZFC公理系においては連続体仮説は真でも偽でもいいことになります。ここら辺が先ほど、微妙なラインと言ったところで、現状の数学ではどうにもなっていない領域だそうです。先ほども言ったとおり、「数学の体系の多くの自然な拡張において」連続体濃度はアレフ・ツーのようだと考えられているレベルだそうです。
-ゲーデルの不完全性定理-
証明も反証もできなく、ゲーデルが出てくると言ったらこれですね。
数学ガールに、これがテーマの版があるのでそのうち読んでみようと思っています。
連続体仮説は、ゲーデルの不完全性定理の代表例のひとつです。
これは、どんな無矛盾な公理系においても、証明も反証もできない命題が存在するという定理で、ゲーデルによって証明されています。
証明も反証もできないことが、証明されうるという奇妙な話ですが、皆さんもご存知の「嘘つきのパラドックス」の応用例です。
（略）
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
今回はここら辺で区切りたいと思います。
本当は、不完全性定理→停止性問題→Ｐ≠ＮＰ問題、まで書いてみるつもりだったんですが、頭が疲れてしまいました。
おまけに実は、試験前なんです。そろそろ勉強に戻らないとって感じです。
あと、億が一にも、こんなブログを数学勢の方が見られて、間違い等を発見してしまいましたら、そっと指摘してくださるとありがたいです。
この記事を書いてみて思ったのが、誰かに説明する気分で書くと、理解度がものすごく深まるという事です。（※あくまで気分であって、説明してるわけじゃないんで…）自分の中に散在してる知識が、わりと綺麗に繋がっていってくれるのが楽しくもあり。
一方で痛烈に知識不足を感じました。もっと多くの本を読んでいかないとダメですね。
ちなみに、この記事を書くにあたってWikipedia、そのほか様々なサイト様を参考にさせてもらいました。というか、見て、理解して、書く、って感じでしたが。
それではまたそのうち。なんとか続けていけるような気がします。
数学だけでなく、理科についてもなにか書く気が起きたら書いてみたいと思います。
（Memo: 記事での疑問：RがNの冪集合であることの示し方）
とりあえずメモ的な感じで、記事を書いていこうかなと。
というか、自分を理解させるために書いているみたいな感じです。
（※数Ⅲ積分と戦闘中という学生のメモ的な感じなので、間違ってる部分が多くあるかもしれません）
数ⅢＣでは新しく無限という概念が導入されて、楽しくなってきたのですが。どうも直感的な部分が多すぎるように思います。いや、もちろんそういう感覚的な部分も大切だと思いますが。
教科書を読んでるとε-δ(Ｎ）論法ぐらいは、やってもいいんじゃないかなぁと思ったり…。
でも受験的ではないですね。それなら仕方ない。
-無限の種類？-
さて、そんな無限ですが、単に無限といっても種類があるということが今回メモしたいことです。
天才数学者ゲオルグ・カントールによって、超限数と名づけられてたそうです。
超限数は、ヘブライ文字のא(アレフ)という文字を使って表すそうです。（某団体を思い浮かべないように…）
しかし、数学も文字記号不足感がありますね…。
この超限数、現代においては濃度という概念となっています。
最も濃度の低いものは、アレフ・ヌル（アレフ・ゼロ）と定義し、次に大きいものをアルフ・ワン、その次に大きいものをアレフ・ツーと定義していくとします。
アレフ・ヌルは、可算濃度であり、すなわち可算集合の濃度、数えられる集合の濃度です。
ここで、数えられる集合とは、自然数集合と一対一対応である集合のことです。自然数や整数、偶数などは可算集合です。つまりアレフ・ヌルの濃度を持ちます。
ところが実数は、アレフ・ヌルより大きい濃度を持ちます。
ということを言うためには実数集合と自然数集合が一対一対応でないことを証明しなければいけません。
ここで用いられる証明法が、有名なカントールの対角線論法です。
-カントールの対角線論法-
証明したい事は、実数集合Ｒが非可算集合だということです。
[証明]
開区間(0,1)において、Rが可算集合であると仮定する。
そうすると、実数に番号をつけてα1,α2,α3,…,αn,…と表記することが出来る。
なお、ここでは全ての要素を無限小数で表しておく。すなわち、有限小数の二通りの表記のうち 0.25＝0.24999… の右辺側の表記を採用する。
（この等式が成り立つ事は少し前の記事で微妙に触れてますね…。２年前の話ですが。）
ここで、αnの小数第m位の数字をAnmとすると、Anm={0,1,2…,9}で、
(0,1)の全ての実数は
α1＝A11 A12 A13...
α2＝A21 A22 A23...
α3＝A31 A32 A33...
...
と表すことができる。
この中で、Annに位置する数字について、
Ann≠1ならば Bn＝1
Ann＝1ならば Bn＝2
となるようなBnを定める。
さらに小数βを
β＝ B1 B2 B3...
と定める。
するとβは0<β<1で、(0,1)に含まれる数であるが、どのαnとも一致しない。
なぜならばαnとβは小数第n位が必ず異なるからである。
矛盾が生じた。
したがって、開区間(0,1)においてRは非可算集合である。
[Q.E.D]
また、ここで、α1,α2と縦に書いていくと、AnnすなわちA11,A22,A33,…は対角線上にある。
これがカントールの対角線論法という名前の由来であるとか。
ごちゃごちゃ書いてますが、要するにありえない小数が簡単に設定できちゃうということですよね。
さて、これだけでは開区間(0,1)の話だけであって、実数全体の話は出来ていません。
が、ここから先は少しズレるので、ここでは省きます…。
とりあえず、ここではRは非可算集合であるとします。
-実数集合の濃度-
ともかくここから先は結構微妙なラインの話になってきます。
上記より、実数集合は非可算集合で、自然数集合と一対一対応でなく、アレフ・ヌルよりも濃度が大きいことになります。じゃあ、実数集合はアレフ・ワンなのかというとそうではないそうです。
ここでいくつかの事項を書きます。
①濃度kの冪集合は2^kであらわされ、2^k＞kはカントールによって示されている。
（冪集合とは、"与えられた集合から取り出されうる部分集合"の集合です。つまり集合S={1,2}とすると、冪集合は、{Ø,{1},{2},{1,2}}です。）
②濃度アレフ・ヌル(ℵ0)の集合、すなわち可算集合の冪集合は、実数集合である。すなわち2^ℵ0＞ℵ0である。
③(Wikipediaいわく)数学の体系の多くの自然な拡張において、2^ℵ0＝ℵ2が成り立つ。つまり、実数集合の濃度はアレフ・ツーであると考えられる。
ここら辺は僕も事実しか分かりません。おまけにアレフ記号があまり使えない記号のせいで、余計に複雑に見える…。とりあえず、実数集合の濃度はアレフ・ワンではなくアレフ・ツーと考えられていること、が重要そうです。
-連続体仮説-
「ヒルベルトの23の問題」の第1問題です。
アレフ・ヌルとアレフ・ツーの間の濃度、すなわち可算濃度と連続体濃度は存在しないという仮説です。
実数は公理より連続しているので、実数集合を連続体集合というそうです。
（この実数の連続性の公理については、ロピタルの定理の証明における第１段階、最大値・最小値の定理の証明に用いられるそうですね。高校レベル、大学の最初のレベルにおいては、この定理を自明としてロピタルの定理の証明に入ってしまうので、非常に気になってます。僕が理解できて、機会があったら書いてみたいと思います。）
この問題は、要するに連続体濃度がアレフ・ワンであるかと言う話です。
また、自然数集合より大きく、実数集合より小さい集合があるかどうかという話でもあります。
さて、先ほども言ったとおり、実数集合はアレフ・ワンではないと普通は考えられているそうです。
この連続体仮説は、ゲーデルとコーエンという二人の数学者によって、証明も反証も出来ない命題であることが証明されました。といってもこれは、ZF公理系(ツェルメロ-フレンケルの公理系)や、ZFC公理系(ZF公理系に選択公理を加えたもの)においてでの話であって、ゲーデルはもっと良い公理系を選べば偽であると証明できると考えたそうです。
また、連続体仮説は、ZFC公理系と独立であると知られています。つまり、ZFC公理系においては連続体仮説は真でも偽でもいいことになります。ここら辺が先ほど、微妙なラインと言ったところで、現状の数学ではどうにもなっていない領域だそうです。先ほども言ったとおり、「数学の体系の多くの自然な拡張において」連続体濃度はアレフ・ツーのようだと考えられているレベルだそうです。
-ゲーデルの不完全性定理-
証明も反証もできなく、ゲーデルが出てくると言ったらこれですね。
数学ガールに、これがテーマの版があるのでそのうち読んでみようと思っています。
連続体仮説は、ゲーデルの不完全性定理の代表例のひとつです。
これは、どんな無矛盾な公理系においても、証明も反証もできない命題が存在するという定理で、ゲーデルによって証明されています。
証明も反証もできないことが、証明されうるという奇妙な話ですが、皆さんもご存知の「嘘つきのパラドックス」の応用例です。
（略）
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
今回はここら辺で区切りたいと思います。
本当は、不完全性定理→停止性問題→Ｐ≠ＮＰ問題、まで書いてみるつもりだったんですが、頭が疲れてしまいました。
おまけに実は、試験前なんです。そろそろ勉強に戻らないとって感じです。
あと、億が一にも、こんなブログを数学勢の方が見られて、間違い等を発見してしまいましたら、そっと指摘してくださるとありがたいです。
この記事を書いてみて思ったのが、誰かに説明する気分で書くと、理解度がものすごく深まるという事です。（※あくまで気分であって、説明してるわけじゃないんで…）自分の中に散在してる知識が、わりと綺麗に繋がっていってくれるのが楽しくもあり。
一方で痛烈に知識不足を感じました。もっと多くの本を読んでいかないとダメですね。
ちなみに、この記事を書くにあたってWikipedia、そのほか様々なサイト様を参考にさせてもらいました。というか、見て、理解して、書く、って感じでしたが。
それではまたそのうち。なんとか続けていけるような気がします。
数学だけでなく、理科についてもなにか書く気が起きたら書いてみたいと思います。
（Memo: 記事での疑問：RがNの冪集合であることの示し方）