今回はy=x^xについて書いていきたいと思います。
これがグラフです。
このグラフは見てわかるとおり正の範囲しかありません。
なぜならx=-1/2などになると、実数の範囲で表すことができないからです。（もし、yを複素数の範囲に広げるならxの範囲も複素数まで広げないといけませんね。そのときx=iならi^iとなります。ちなみにi^iは実数です）
ある値（最小値）から傾きが正になっています。この値を求めるには傾きが0の時その値は最大値または最低値であるというのを使います（ロルの定理）。
f(x)=x^xとしたときの導関数f´=(x^x)lox(x)+x^xとなる。（これはf(x)=x^xをf(x)=e^xlog(x)と置き換えれば簡単に微分することができます）
f´(x)=0を満たすxは1/eということがわかります。つまり最小値は f(1/e)=(1/e)^(1/e)=e^(-1/e)となる。
ここから、0＜ｘ＜1/eの時は傾きは負。ｘ＞1/eの時は傾きが正であることがわかった。