色が変わらない領域【９月の新作問題】

ひさしぶりの新作問題です。

問題

１辺が１の正方形をいくつかの領域の分割後，

それぞれの領域を色づけした図形Ａする（例えば，次の図）。

さらに，この図形Ａと相似で，面積が４分の１の図形Ｂをつくる。

図形Ｂを図形Ａからはみ出ないように重ねる。

このとき，領域の分割のしかた，色のつけ方に関係なく

図形Ａと図形Ｂの重なりのうち，

少なくとも１点は同じ色が重なっていることを証明せよ。