こんにちは
今回はColiolisの力について
解き明かしましょう。
今回の「'」は非慣性系の位置ベクトル
を示しています。
慣性系Aにおいて角速度ωで回転している運動
について考える。このとき、質点ｍの位置をr
とすると、
V=ω×r'
ここで、板の上でv'で質点が動くとすると、
これは、非慣性系座標系Ａ'で見たものである
ので、
v=dr'/dt
=v'+V
=(dr'/dt)'+ω×r'
すなわち、
dA/dt=(dA/dt)'+ω×A…(＊)
(Aは任意)
が成立します。
a=dv/dt
=d(v'+ω×r')/dt
=dv'/dt+((dω/dt)×r')+(ω×(dr'/dt))
(＊)を用いて、
=[(dv'/dt)+ω×v']+(dω/dt)×r'+ω×[(dω/dt)×r'+ω×r']
=a'+ω×v'+(dω/dt)×r'+ω×v'+ω×(ω×r')
=a'+2ω×v'+(dω/dt)×r'+ω×(ω×r')
ここで
ω×(ω×r')=(ω・r')ω-(ω・ω)r'
ωとr'は直角なので、
(ωはz軸方向、xy平面方向である)
ω・r'=0
すなわち、
ω×(ω×r')=-(ω・ω)r' =-ω²ρ
(ρは円運動の半径、r'→ρとおきなおした)
a=a'+2ω×v'+(dω/dt)×r'-ω²ρ
a'=a-2ω×v'-(dω/dt)×r'+ω²ρ
F'=ma'
に代入して、
F'=ma-2mω×v'-m(dω/dt)×r'+mω²ρ
F'=F-2mω×v'-m(dω/dt)×r'+mω²ρ
-2mω×v'→Coliolisの力
-m(dω/dt)×r'→慣性力(特に名前なし)
+mω²ρ→(遠心力)
これにて証明完了です。