こんにちは
今回はKeplerの第3法則の証明
を行いたいと思います。
ここで、
mr'²/2+mh²/2r²-GMm/r=E(E<0)…①
の証明は省かせてください。
①より、
|E|r²-GMmr+mh²/2=0
という、rについての二次方程式になり、
２解をa₁、a₂とおき、長軸をaとすると、
解と係数の関係より、
a₁+a₂=2a=GMm/|E|
a₁*a₂=mh²/2|E|
ここで、楕円の性質を使います。
楕円とは、異なる２焦点からの距離の和が
一定である点の集合のことです。
すなわち、短軸をbとします。
ここまでを整理しましょう。
＊上の図では、a=2、b=1としています。
BD=a₁、BC=a₂ですね。
ここで、
b²=(a₁+a₂/2)²-(a₂-a₁/2)²
b²=a₁*a₂…②
次に、Keplerの第2法則より、
面積=hΔt/2 (h=一定)
ココで、Δtは近似して角度としてみます。
(Maclaurin展開の利用)
すると、
楕円全体の面積=∫(0→2π)hΔt/2…③
ここで、
Δt→T(周期) (0→2πのとき)
また楕円は円を拡大縮小したものとみれば、
楕円の面積=π*a*a*b/a
=πab…④
③④より、
T=2πab/h
これを用いて、
解と係数の結果、
a₁+a₂=2a=GMm/|E|
a₁*a₂=mh²/2|E|
から、
変数となりうるかもしれない
|E| (惑星によって変わる)
m (惑星によって変わる)
を消してみると、
a/b²=GM/h²
ここで、hも惑星によって変わるので、
hも消しましょう。
a³/T²=GM/4π²(=一定)
証明完了です。