区分求積法で面積を求めている。
そんなとき、和の計算でΣの公式が必要になる。
そこで、今回はΣの公式について考えよう。
あなたはΣｋの８乗の公式が導けるか。
このブログではそういった問題を扱う。
数学的思考でより本質的な問題を扱う。
Σの公式の使い方ではない。
あのChatGPTですらわからない。
ただ、ヒントを与えたらたちどころに解いた。
さすが知識抜群の超優等生。
我々は考え方（思考力）をいかに身につけるか。
知識だけではない思考力。
これは高いレベルの目標である。
今後の教育の大目標だと思う。
Σの公式を導く。
発想はとても簡単だ。
積分の区分積分法はΣ公式を使う。
逆にΣ公式は積分公式から導く。
それだけである。
最初に教科書の解法を復習しよう。
Σｋの公式から求めよう。
和の計算は階差の公式を使う。1
① はｋとｋ－１という１の差のある式の差。
これを階差の式という。
この階差の式を上のようにすべて加える。
そうすると途中が打ち消しあって最初と最後が残る。
これが和の計算の原理だ。
とてもシンプルであるが応用のある原理だ。
同様に階差の２乗の公式を求めてみよう。
階差の指数を３にすればよい。2
このようにして順にSを求めることができる。
Σの3乗、Σの４乗の計算を行ってほしい。
式の特色に気が付くであろう。
式をみて気が付くこと。
Sはいつもnを因数に持つ。
いいかえれば、Ｓ（0）=0となる。
理由は③式からわかると思う。
（実はS（－１）＝０にもなる）
実際に計算してみると見えてくることが多い。
階差の式の工夫はできないか。
いつも同じ階差の式ではないのだ。
階差式④を見てほしい。3
このように求めることができる。
Σの2乗の公式も同様にして求めてほしい。
これからの目標はシグマ8乗の式は導けるか。
いままでの方法だと膨大な式になりそうだ。
実際にやってみるとよい。
少し工夫がしたい。
いつも計算を頑張るだけではない。
工夫やアイデアが数学には大切だ。
ここが知識だけではできない思考だ。
それが積分利用の方法だ。
ポイントは階差の公式と積分の利用。
次回、具体的に考えてみよう。