こんにちは。ヨッシーです。
私は長年数学教師をしておりました。
現在はフィリピンで日本語を教えております。
中学校のとき、はじめてメネラウス定理を知りました。
何という美しい式。証明が鮮やかで感激した覚えがあります。
このような定理を自分で見つけてみたいと思ったものです。
幾何学は図形の学問のことで、多くの人が魅せられた数学の分野です。
私もその幾何学で数学に魅せられました。
幾何学は美しさが目に見えてわかるからです。
目には見えないが世界の背景にあるのが数学です。
最先端の人工知能もその背景は数学なのです。
美しいモノは、なぜか役にも立つようです。
数学の魅力がわかれば世界が変わって見えるでしょう。
あなたもそのような数学の魅力に触れてみませんか。
数学的思考は公式を覚えるモノではありません。公式を導き出す思考です。
数学的思考に目覚めた人々が世界を創造していきます。
【今回の課題】
拡張版：チェバの定理とメネラウスの定理
登場人物はヨッシー先生（Y先生）、努力家のM君、直観のするどいH君、
冷静なSさん。この３人とヨッシー先生の会話で構成されています。
ヨッシー先生「みなさん、こんにちは」
Ｈ「今回は何のお話ですか」
ヨッシー先生「拡張版のチェバとメネラウスの定理について」
ヨッシー先生「拡張された定理を具体的に見てみましょう」
Ｈ「直線が三角形の辺上で交わらなくてもいいわけだ」
Ｍ「辺を含む直線と交わればよい」
H「チェバの定理の拡張版はどうなりますか」
ヨッシー先生「いずれも辺を含む直線上で交点を持てばよい」
H「見事ですね」
問題はどうして拡張した定理が成り立つか。
その原理を追求するのが数学的思考です。
H「どうしたらよいですか」
M「図が変わるので証明が大変です」
H「いくつも図を書かないといけなくなります」
ヨッシー先生「点の表現を一般化します」
H「どういうことですか」
ヨッシー先生「簡単に言うと文字で比を表現するのです」
ヨッシー先生「直線ABを（1－ｔ）：ｔに分ける点P
を考えます」
H「ｔの値によって点Pの位置が変わります」
M「0＜ｔ＜1で点PはABの内分点。
他の場合は外分点になります」
チェバの定理の証明を考えます。
辺上の点を文字の比で表して証明します。
証明はベクトルの計算になります。
M「辺上の点LとNの位置をtとsで表します」
具体例で見てみましょう。
M【２、３番目の場合は、交点Pが三角形の外部にあります」
H「いわゆる拡張されたチェバの定理ですね」
H「辺OA、OB上の点L、Nがｔとsの値で表現できます」
M「内分点、外分点が表現できるわけだ」
H「BLとAMの交点Pの位置をベクトルで求めてみます」
具体例で計算してみましょう。
具体例での計算が一般の計算につながります。
ヨッシー先生「具体例で計算します」
ヨッシー先生「３つ目の図の場合で計算しましょう」
M「どうやって計算するのですか」
H「交点Pを比LP:PB=ｍ：（1－ｍ）、
AP:PN＝ｌ：（1－ｌ）で表します」
ここからはベクトルの計算です。
図を見ながら確認してください。
M「それぞれの比が求まります」
Ｈ「確かに拡張されたチェバの定理が示されました」
M「一般の場合の証明も同じ計算ですね」
比を文字で表して拡張された定理が示されます。
これが数学の抽象化です。
抽象化により広い視野から問題を捉えることができます。
一般の場合の証明は以下に載せます。
参考にしてください。
係数比較の計算は各自で確認。
実は、上の図で△OAMを直線LBが切るという形の
メネラウスの定理が証明できます。
是非、挑戦してください。
次回は拡張したメネラウスの定理の証明です。
今回はここまでです。