辺と角の関係③
こんにちは。ヨッシーです。私は長年数学教師をしておりました。
現在はフィリピンで日本語を教えております。
数学の魅力に魅せられたモノです。
このブログでは、多くの人に数学の魅力をお伝えしたいと思っています。
数学の魅力がわかれば世界が変わって見えます。
一生の財産となると思います。
AIの台頭する時代であるからこそ、数学的思考はより重要になると思います。
数学的思考に目覚めた人々が多くなることを夢みています。
【今回の課題】
・辺と角の関係 直角三角形の性質
登場人物はヨッシー先生（Y先生）、努力家のM君、直観のするどいH君、
冷静なSさん。この３人とヨッシー先生の会話で構成されています。
ヨッシー先生「みなさん、こんにちは」
H「今回は何を考えますか」
ヨッシー先生「直角三角形の性質を考えます」
直角三角形は三角形の基本になります。
ヨッシー先生「これはどうしてですか」
M「ええっ、どうして？」
H「当たり前みたいですが、どう説明したらよいですか」
いろいろな解法を考えてみましょう。
自由に考えることが出来るのが数学の魅力です。
ヨッシー先生「ABの中点Mから辺OA,OBに
垂線を引きます。図②で考えてください」
M「MC∥BO、MD∥AOとなります」
H「ということは、AM:MB=1:1の比がそのまま移る」
S「AC:CD＝1：1、BD：D＝1：1ということ」
H「交点C、DはOA、OBの中点となります」
図をよく見て考える。
図形を描いて考えることが基本です。
H「あれ、合同である直角三角形に分割されていませんか」
M「そうですね」
４つの合同な直角三角形があります。
S「合同三角形の対応辺は等しいのでMO=MA＝MB」
これで証明終わり。
別解を考えてみましょう。
ヨッシー先生「点Mの取り方を変えてみましょう」
H「どういう意味ですか」
ヨッシー先生「OAの垂直二等分線とABの交点をNとします。結果的に点Nと点Mは一致します」
M「CNはOAの垂直二等分線なのでNA=NO」
目標はNA=NBすなわち点NはABの中点であること。
直角をいかにして使うか。
角の関係から辺の関係を調べてみましょう。
H「△NAOは二等辺三角形で底角が等しくなります」
M「だから∠A＝∠AON」
S「⑥で角は●の記号ですね」
ヨッシー先生「後は何が分かればよいでしょうか」
NO＝NBとなることを示す。
H「もう少しです。NA=NBが目標です」
M「どうしたらいいですか」
S「NO＝NBがいえればNB＝NAです」
H「と言うことは△ONBが二等辺三角形で底角が等しくなれば良いわけだ」
図をよく見て考える。直角がヒント。
△ONBが二等辺三角形になれば良い。
M「図➆から∠NOB＝∠B」
S「記号で★＝▲ということですね」
△ONBの底角が等しくなる。
底角が等しいので△ONBは二等辺三角形。
以上よりNO＝NB、NO＝NAより
NA＝NBとなります。（点NはABの中点）
前提を変えてみる。見方が変わり解決につながる。
斜辺の中点Mは直角三角形の外接円の中心です。
