こんにちは。今回は数列分野について漸化式のまとめとして一般の解法を考えます。
教科書の内容を基本から押さえます。
登場人物
2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし
数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、
しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子
ヨッシー先生「今回は漸化式の解法をまとめてみましょう」
森「前回扱った漸化式（１）を解いてみます」
森「特性方程式を解き、その解から漸化式を等比の形に変形します」
森「特性方程式の解は１，３，５です」
橋本「等比の形は（＊）です。この場合は公比αです」
森「公比はα、β、γの３つの場合があり３つの式が出てきます」
内田「どれも等比数列なので一般項がわかるわけですね」
森「結局、等比の形に変形しているわけです」
橋本「連立方程式を解いて一般項が求まりました」
ヨッシー先生「解答を見直してみましょう」
森「解は特性方程式の解のn乗の定数倍となっています」
橋本「その観点から解の求め方の工夫ができそうです」
内田「どういうことですか」
橋本「解を次のようにおきます」
橋本「解は（＊＊）のようにおけるわけです」
森「いまの場合は④式です」
橋本「後は初期条件に合うように係数Ｃ１、Ｃ２、Ｃ３を決めれば良いのです」
内田「確かにこの解法は分かりやすいですね」
ヨッシー先生「連立方程式を解いて先ほどの解と一致することを確認してくださいね」
内田「特性方程式の解が重解の場合はどうなりますか」
橋本「内田、いい質問するじゃないか」
森「具体的な例で確認してみます」
森「２が重解の例です」
橋本「両辺を２の（n＋２）乗で割れば良いと思います」
森「階差数列の関係が使えそうです」
橋本「階差が一定なので等差数列ですね」
森「重解の場合は階差の公式が利用できます」
橋本「重解の場合は、特性根のn乗とn✕特性根のn乗の和からなります」
ヨッシー先生「そうですね。３乗根の場合なども調べてみると良いでしょう」
今回はここまでです。次回をお楽しみに。