こんにちは。今回は数列分野について漸化式の等差型の解説をします。
教科書の内容を基本から押さえます。
登場人物
2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし
数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、
しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子
ヨッシー先生「今回は数列の漸化式について学びます」
内田「漸化式って何ですか」
橋本「内田、漸化式を知らないのか」
ヨッシー先生「数列で前後の関係式を表した式です」
内田「ああ、あれか。思い出しました。」
ヨッシー先生「今回は（１）、（２）の階差形の漸化式を扱います」
森「（１）からです。連続する数列の２項の差が一定のdです」
内田「これって、等差数列ですよね」
橋本「そう。等差数列の一般項を出せば良いわけだ」
森「ここでは、数列の漸化式を使って求めてみます」
ヨッシー先生「漸化式を解くとは、漸化式を満たす数列の第n項を求めることです」
森「一般項を求めることですね」
森「①式は階差の関係式です。一定のｄです」
内田「すべて加えて一般項が求まります」
ヨッシー先生「ここで階差形の漸化式についてその解法をまとめてみます」
森「②式が階差形の漸化式です」
橋本「すべて加えると➂式のように和が求まります」
森「（２）も同じです」
内田「階差形の意味がわかりました。やってみます」
内田「同じようにして求まります。Σｋ²の公式を使います」
ヨッシー先生「そうですね。今回は発展問題としてΣｋ³の公式を
Σｋ²の公式から導いてみましょう」
内田「どういうことですか」
ヨッシー先生「Σｋ³の公式を使って漸化式を解いていましたが、逆に漸化式からΣｋ³の公式を導きます」
森「そんなことができるのですか」
ヨッシー先生「それでは考えてみましょう」
森「➄式の漸化式の解はbn＋１＝Σｋ³です」
ヨッシー先生「➄式の両辺をnで微分します」
橋本「えっ！微分ですか？」
ヨッシー先生「nで微分します」
ヨッシー先生「⑥式と➆式を比較してください」
森「２つの漸化式は同じです。これからaｎ＋１の積分からbn+1が求まります」
橋本「an＋１＝Σｋ²なのでΣｋ²のnについての積分計算からΣｋ³が求まるんだ」
内田「これも面白いですね」
ヨッシー先生「この計算進めてΣｋ³を求めてください」
森「Σｋの計算が積分計算から求まる」
内田「前のΣの積分から次のΣの積分が求まるわけだ」
橋本「階差の漸化式をうまく使った方法ですね」
ヨッシー先生「発想を変えて考えることは大切ですね」
今回はここまでです。次回をお楽しみに。