こんにちは。このブログは高校での数学を新しい観点から学ぶ内容となっています。
結果として深い思考力が身につきます。今回も有名な「チェバの定理の拡張」です。
登場人物
2年Ａ組担任数学教師ヨッシー、クラスの室長あつし、
数学好きの森、数学嫌いの華子、お調子者の内田、
しっかり者の橋本、クラスのマドンナ麗子
ヨッシー先生「今回はチェバの定理の別証明の続きとその拡張を行いましょう」
内田「拡張した定理とは何ですか」
森「上の図の右側で、交点Ｐが三角形の外側にあるときです」
内田「三角形の中で交わらなくてもいいんだ」
ヨッシー先生「まず、チェバの定理をメネラウスの定理を使って証明します」
内田「前回の宿題ですね」
橋本「これは左と右からメネラウスの定理を使えばできそうです」
ヨッシー先生「その前にチェバの定理とメネラウスの定理を復習しましょう」
橋本「内田、分かるか」
内田「順にまわしていけばいいわけだから、簡単さ」
森「それでは、メネラウスの定理を使ってチェバの定理を証明します」
橋本「左の△ＡＢＥと△ＡＥＣに対してメネラウスの定理を使うわけだ」
内田「それが①式と②式」
森「それぞれを掛け合わせると１になるわけです」
ヨッシー先生「形が似ているだけではなく証明できるわけですね」
内田「次は最初に図示された拡張されたチェバの定理の証明ですね」
内田「これはどうしたらいいですか。図が変わるわけですね」
森「これが不思議なんですが、元のチェバの定理と証明は変わらないようです」
内田「図は変わるわけだろ。そんなことあるのか」
橋本「それでは確かめていこう」
森「①式の証明を考えます。これはチェバの定理で出てきた面積比です」
森「△ＡＢＰと△ＡＣＰの底辺を共通の辺ＡＰとすると面積は高さの比・
それは図の様にＢＥ：ＥＣとなります」
橋本「面積比は前の証明と同じ三角形の面積比でまったく同じになるんだ」
森「ちなみに他の三角形の比も同じです」
内田「本当だ。これは不思議ですね」
ヨッシー先生「このような不思議な状況をさらに深く考えるのが数学なのです」
森「そうですね。拡張は多くの参考書は使い方が中心でなぜこうなるか書いてないように思います」
ヨッシー先生「このような違和感といいますか、小さな疑問を大切にすると思考力は確実に深くなると思います」
森「第一、面白いですね」
どのように考えればよいのでしょうか。これは課題にしておきましょう。
今回はここまでです。次回をお楽しみに。