こんにちは。前回はチェバとメネラウスの定理について考えました。
「Ｂ男クン、チエバの定理の逆を使った垂心の証明はできたかい」
Ｂ男「少し大変でしたが、できました」
「それでは問題から確認してみよう」
Ｂ男「内角と辺の長さで比が表現できました」
「素晴らしい。割と簡単だね」
Ｂ男「こんな方法は考えもしませんでした」
「定理は深く考察したいね」
「ということで、さらに別解はないかい」
Ｂ男「えっ？難しいです。ベクトルの内積ですか？」
「ベクトルの解法も簡単で面白いが、今回は他の方法で解こう」
「もう一度問題にもどって考えてみよう」
Ｂ男「３つの線分が一点で交わるわけだから……」
Ｂ男「２つの垂線の交点と他の頂点を結んだ直線が対辺に垂直になればよい」
「そうだね、はっきりさせよう」
Ｂ男「ＡＨとＢＣが垂直となることを示せばよいわけだ」
「そう、ヒントとして円に内接する四角形を探してごらん」
Ｂ男「えっ？そうか、直角を使うんだ」
Ｂ男「できました。気がつけば簡単です」
「そうだね。別解の方が分かりやすい場合も多い」
「他の証明は？」
Ｂ男「学校では外心との関係を先生が言っていたような……」
「そう、これは気がつきにくい証明だ」
Ｂ男「外側の三角形の外心が元の三角形の垂心になるんですね」
Ｂ男「外心についても勉強したいです」
「それでは次回は外心、内心などの五心について学ぼう」
三角形の五心はいずれも３つの直線が１点で交わった点です。
次回、詳しく考えてみましょう。それではお楽しみに！