数学的思考に目覚める会話1-4
数学的思考に目覚める会話1-4角の二等分線④こんにちは。ヨッシーです。私は長年数学教師をしておりました。現在はフィリピンで日本語を教えております。数学の魅力に魅せられたモノですが、何でもないごく普通の人間です。このブログでは、多くの人に数学の魅力をお伝えしたいと思っています。数学の魅力がわかれば世界が変わって見えます。一生の財産となると思います。AIの台頭する時代であるからこそ、数学的思考はより重要になると思います。数学的思考に目覚めた人々が多くなることを夢みています。【今回の課題】・二等分線の性質を面積公式から導く登場人物はヨッシー先生(Y先生)、努力家のM君、直観のするどいH君、冷静なSさん。この3人とヨッシー先生の会話で構成されています。ヨッシー先生 「みなさん、こんにちは」「ヨッシー先生、こんにちは」ヨッシー先生「今回は二等分線の性質を振り返ります」M「外角の二等分線と内角の二等分線の定理がありました」ヨッシー先生「もう一度定理を書いてみます」ヨッシー先生「どのように証明しましたか」H「結局、三角形の面積比を使いました」ヨッシー先生「そうですね。面積比を辺の比で考えました」H「角を使った面積表現がポイントだと思います」ヨッシー先生「それができれば、簡単に証明ができそうです」角は辺の比で表現されます。その考えから三角比の考えが生まれました。ヨッシー先生「三角比を使って面積を求めてみましょう」 (α=∠AOBとする)H「sinαを使えば高さBCが表現されます」M「角αを使って高さを表したわけだ」M「あとは底辺をかけて2で割れば良い」ヨッシー先生「公式②を使って公式を証明してみましょう」M「これを使うと③ができそうです。△OAE:△OEB =(1/2)OA・OE・Sinα:(1/2)OE・OB・Sinα =OA:OB」ヨッシー先生「簡単にできましたね」H「こちらも面積比ですね」M「確かに!△OAC:△OBC =(1/2)OA・OC・Sin(180°―α):(1/2)OB・OC・Sinα =OA:OB」ヨッシー先生「ここで 公式Sin(180°―α)=Sinα を使っています」 角を辺で表すという考えで三角比(Sin α)が考えられたのです。 三角比の考えで証明がより見通しよくなりました。 【応用】 次の問題を考えます。H「角の三等分線の比?こんな公式は知りません」ヨッシー先生「二等分線と同じ考えで解けませんか」M「三角形の面積公式を使えば簡単です」M「AC:CD:DB=△OAC:△OCD:△ODB」H「これは三角形の面積公式からAC:CD:DB=OA・OC:OC・OD:OD・OB」【話題】アポロニウスの円ヨッシー先生「次の図を見てください」ヨッシー先生「∠EOCは何度ですか」M「360°の半分で90°です」ヨッシー先生「そうです。では次の図を見てください」 OA:OB=PA:PBとなる点Pをとる。 点PはECを直径とする円周上の点となる。ヨッシー先生「この円はアポロニウスの円と言われます」H「点Pが円周上の点となるのはどうしてですか」ヨッシー先生「∠EOCが直角になるからです」S「直径の円周角は直角です」ヨッシー先生「そうですね。∠EPCも直角です」ペルガのアポロニウス紀元前262年頃 - 紀元前190年頃)は、古代ギリシアの数学者・天文学者