秘伝の数学、AI時代の数学的思考に目覚める会話、実習生と仲間たち

秘伝の数学、AI時代の数学的思考に目覚める会話、実習生と仲間たち

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07Dec
- ㊳対称式（3変数） ④
  ㊳対称式（3変数） ④ 今回は対称式の４回目です。今回は3変数【対称式の性質】の最終証明を行います。　　【対称式の性質】対称式は基本対称式で表される。いままで導いた性質を整理します。　　さらに次の性質を示しました。それでは、一般の対称形について証明します。ここでも、具体例で考えてみます。（　　）の中の対称式を変形する。4もう一つ具体例を考えます。5（　　）の中の対称式を変形します。6このように3変数の積対称式はSとTで表わされます。SとTは基本対称式で表現されます。よって、3変数の対称式は基本対称式で表わされます。 4変数以上の対称式も同じ原理で証明されます。　このように証明が感覚でつかめるわけです。これこそが、数学的思考だと思います。対称式のお話はこれで終了です。【お知らせ】Kindle電子書籍「秘伝の数学（Σの巻）」を出版しました。「あなたはΣｋ＾８の公式を導けるか」公式を導く思考育成を目指しています。👇 Kindle はこちらhttps://amzn.asia/d/59rSnZy
04Dec
- ㊲秘伝の数学（対称式（3変数）③）
  ㊲対称式（3変数） ③　今回は対称式の３回目です。最初に、前回の復習です。　今回は、一般の対称式（3変数）について　【対称式の性質】　　　　　対称式(3変数)は基本対称式で表現できる。の証明が目標です。一般の対称式（多項式形）はどんな形でしょうか。具体例を見てみましょう。　よって　２変数の積の対称式について考えます。　やはり、具体例で考えます。　２変数の場合と同じ証明の構造をしています。Tについての漸化式を考えます。２変数の証明と同じ考えで証明を行います。これこそが数学的思考の核心です。問題の構造が見通せれば、同じなのです。　　実際に計算してみましょう。　出てきた結果を整理します。これで、準備が整いました。　今回はここまでです。　次回、一般の対称式（3変数）の証明を完成させます。　　【お知らせ】　kindle電子書籍「秘伝の数学（Σの巻）」を出版しました。　kindleランキング数学、教育学で1位となりました。　ありがとうございます。👇 Kindle はこちらhttps://amzn.asia/d/59rSnZy
03Dec
- 【（実習生ネルさん）実習生と仲間たち（42）】
  【（実習生ネルさん）実習生と仲間たち（42）】フィリピン人実習生のネルさん。20代前半の若者だ。　私のオンライン授業に参加している。フィリピン日本語学校の生徒でもあった。　彼はとても勉強家だ。1年の日本滞在でJLPT3級を取得。飄々とした感じの若者だ。ところが彼は粘り強い。ことらが驚くほどだ。オンライン授業で受講の続く生徒は少ない。「仕事が忙しい」「友達が来ています」「仕事で疲れました」言い訳はいくらでも出る。彼はそれがない。授業に遅れる場合は理由をきちんと話す。しかも時間に正確だ。時間に遅れる場合は必ず連絡を入れる。当たり前の様だがなかなかできない。明るいがおおざっぱ。そんな雰囲気の強いフィリピンが多い。彼は明るく、前向きで誠実。驚くべきことは他にもある。オンライン講座はJLPT対策の3級、4級を開講。彼は２つの講座を受講している。ネルさんはすでに3級に合格している。受講は必要ないように思える。「日本人の先生との会話の時間を持ちたいのです」しかも、彼は4級と3級の2つを受講している。向上心が強いのだ。　　　（フィリピン人実習生ネルさん）いろいろ彼と話していて思うことがある。「日本は、人が優しくととても住みやすいです」「3年後にさらに継続して日本で働きたいです」多くの実習生は３年修了でフィリピンに帰国する。その後、オーストラリア、カナダで働こうと考える。そこでは給料が日本よりかなり高い。しかも日本の経験があると就職しやすいらしい。彼らは理解している。日本の技能実習生の給料は低い。しかも、日本人の嫌がる単純労働をやらされる。単純労働が悪いわけではない。ただ、機械で置き換わる仕事だ。若い彼らの将来に活かすことが難しい。それでもネルさんは日本が好きなのだ。彼のような若者が日本で働き続けてほしい。ネルさんによく話す。日本語だけではなく、専門知識、人間関係。それらを日本で学んでほしい。そうすれば、日本人のよき仲間になる。彼らは仕事の穴埋め人材ではない。ともに協力し合う仲間だ。そのような思いで彼らと接している。
- ㊱対称式（3変数） ②
  ㊱対称式（3変数） ②今回は対称式の2回目です。最初に、前回の復習です。　今回は、一般の対称式について　　【対称式の性質】　　　　　対称式は基本対称式で表現できる。の証明をしましょう。一般の対称式（多項式形）はどんな形でしょうか。もう一度、具体例を見てみましょう。よって　①の対称式が基本対称式で表現できることを示せばよい。これはxyの積の項をくくり出せばよい。以上で、2変数の【対称式の性質】が証明されました。次は何を考えますか。変数を３変数としたらどうなるか。これは問題の拡張です。この思考法は数学的思考ではとても重要です。それでは３変数の対称式について考えてみましょう。問題をはっきりさせます。【対称式の性質（3変数）】３変数ｘ、ｙ、ｚの対称式は、基本対称式ｘ＋ｙ＋ｚ、ｘｙ＋ｙｚ＋ｘｚ、ｘｙｚで表現される。 2変数の場合の証明を真似てみましょう。最初に考えるのは次の問題でした。　　　　証明のポイントは漸化式でした。　　　Sについての漸化式を作ります。　　　3変数の具体例を考えてみましょう。　②式の二項目をどう基本対称式で表わすか。これは基本対称式ｂをどう使うかです。6　具体例から問題の状況がわかってきます。　もう一つ例を計算してみましょう。　Sについて漸化式③が成り立つことがわかりました。この③式から【対称式の性質】が証明されます。　　今回はここまで。　次回は3変数の一般の対称式の場合を証明します。【お知らせ】kindle電子書籍「秘伝の数学（Σの巻）」を出版しました。公式を創り出す数学的思考を扱っています。あなたはΣのｋの8乗の公式を作れますか。👇 Kindle はこちらhttps://amzn.asia/d/59rSnZy
01Dec
- ㉞【秘伝の数学(対称式①)】
  ㉞【対称式について（①）】今回は対称式について。対称式とはどんな式でしょうか。１）ｘ、ｙについての対称式とは…　　　　　ｘとｙを交換しても変わらない式　具体例を見てみましょう。ｘ＋ｙ、ｘｙ　を基本対称式といいます。対称式は次の性質が知られています。【対称式の性質】対称式は基本対称式で表現される。この性質の証明を考えます。最初に具体例を見てみましょう。上の例をよく見てみましょう。xのn乗とｙのn乗の和の形が表れています。ということで、この形に何かヒントがありそうです。この形は【対称式の性質】を満たしています。最初に、この形の対称式の証明を考えてみます。どのように考えるか。それぞれの関係が作れないか。数学的思考は関係性の把握とも言えます。具体的には次の通りです。それぞれのSの関係式です。これが、できれば帰納法で【性質】の証明ができます。実際に考えてみましょう。上のようにSについての漸化式が作れます。一般に次のような漸化式が成立します。具体例があれば、そんなに困難ないはずです。この漸化式①で【対称式の性質】の証明ができます。正確に、証明を書いてみましょう。　この形の対称式Sについて【対称式の性質】の証明ができました。　次の目標は一般の対称式（ｘ、ｙの多項式で）です。　　次回、この内容を考えてみましょう。【お知らせ】kindle出版「秘伝の数学（Σの巻）」を出版しました。　おかげ様でkindleランキング数学、教育学の2分野で1位となりました。　今後、好評分野のシリーズ化を考えています。　よろしくお願いします。👇 Kindle はこちらhttps://amzn.asia/d/59rSnZy
30Nov
- 【（先生の授業が一番です）実習生と仲間たち（4１）】
  【（先生の授業が一番です）実習生と仲間たち（4１）】　　　　　　　　日本に戻ってオンラインの授業をしている。どの生徒も仕事で忙しい。生徒達はオンライン授業の時間確保が難しい。工場で働いている生徒たち。残業、夜勤が不定期で入ってくる。時間を合わせること自体が難しい。休みの曜日が確保している生徒。例えば、自動車整備は比較的そのようだ。２０：００でも帰ってから学ぼうとする生徒。彼らはオンライン授業に参加してくる。授業では文法の説明もする。ただ、それだけだと日本語の勉強にならない。なるべく、文を作ってもらい会話の練習をする。日本で生活して、働いている彼らだ。日本語に常に接している。音で日本語を聞いている。それを利用しない手はない。話をしていてこちらも気が付くことが多い。例えば、日本語には否定表現が多い。否定の否定で肯定といった表現も多い。謙遜の文化の影響かもしれない。会話をしながらそんなことも話す。現場では仕事の会話しかしない。工場とか特にそうだ。しかし、彼らは気になる日本語も多い。ただ、確かめる素手がない。　　（神戸で働いている実習生）そこで、日本語教師との会話だ。疑問が文法の裏付けで理解できる。経験の振り返りが言語理解の体験に変わる。これはとても大きいと思う。日本人との会話の多い生徒は上達が早い。やはり音の入る会話が基本だ。これはアニメ視聴でもよい。音から日本語を身につける。音が介入すると上達が早い。フィリピン人の文化に驚くことも多い。よく、勉強した表現を使って文を作らせる。キムさん、文を作ってください。「先生の授業は一番わかりやすいと思います」「えっ！！」驚いてしまった。日本の生徒は、まずこのような文は作らない。他の生徒も、ニコニコしている。彼らの文化に学ぶことが多い。【お知らせ】数学の電子書籍「秘伝の数学（Σの巻）」を出版しました。おかげさまでAmazonnランキング数学、教育学で1位を取れました。ありがとうございます。👇 Kindle はこちらhttps://amzn.asia/d/59rSnZy
25Nov
- メネラウスの定理で抽象化思考②
  【メネラウスの定理で抽象化思考②】メネラウスの定理の第2弾。塾で大人気の定理だ。覚え方と使い方の練習をする。定理の使い方がわかる。しれで、問題が解けるようになる。ただ、ここからが問題だ。問題は解ければよいわけではない。数学的思考（抽象思考）が活躍する。今回はそのことについてのお話です。【メネラウスの定理】について図形の証明を簡単に復習しよう。証明は例えば次のような補助線で説明できる。2AM上に比を集めて計算する。鮮やかな解法だ。いろいろな解法が考えられる。いろいろな解法を考えることで抽象化思考を使う。それは別の機会に譲るとして今回は以下の点に注目する。このメネラウスの定理、いろいろな形で成立する。またまた、次の形でも成立する。三角形の辺の外分点で直線が交わってよい。（上図で点L、M、N）拡張されたメネラウスの定理だ。これを、どう説明したらよいか。三角形と直線の交点。図形によって交点が辺の内分点、外分点になる。どのような交点でもメネラウスの定理は成立する。どうして？これを統一的に説明したい。これこそ、深い問いである。では、どうしたらよいか。文字による抽象化思考だ。比を文字で表してベクトルで証明しよう。この設定で証明ができればよい。変数tとｓを変えれば内分点、外分点が表せるからだ。座標利用でもよいが、ベクトルの方が一般的だ。思考の抽象レベルを上げて証明するわけだ。ベクトルを学ぶ理由がわかる。ベクトル利用は抽象化思考といえる。この点の理解が非常に大切になる。定理を覚えて使い方を覚える。それだけでは数学的思考は育たない。このような操作は思考ではなく作業であろう。略解を示しておくので証明に挑戦してほしい。チェバの定理も同じことがいえる。最後の③式は点Eが外分点のため－１となる）【まとめ】数学の記号は抽象化思考のための道具だ。ベクトル、複素数などはそのような観点から眺めたい。【お知らせ】kindle電子書籍「秘伝の数学（Σの巻き）」が出版されました。おかげさまで好評でAmazonnランキング数学、教育学の2部門で1位となりました。ありがとうございます。引き続き、ご好評の内容をシリーズ化して出版する予定です。👇 Kindle はこちらhttps://amzn.asia/d/59rSnZy
20Nov
- 数学的思考に目覚める。複素数の時代
  数学的思考に目覚める複素数の時代AIが世界を変える勢いだ。AIの背景には数学がある。AIは数学世界の表現といってもよいくらいだ。複素数の時代。AIにも複素数が隠れている。AIはもちろん、現代科学は複素数が関わる。例えば、量子の振る舞いは複素数で表現される。この量子を使い実現される量子コンピューター。桁違いの演算速度だ。まもなく実現される。複素数が社会の表舞台に出現してきた。複素数、iの2乗が－１。みなさん、ご存じの虚数単位i。iを使い表現される数が複素数。「2乗すれば正の数に決まっているよ」「iの２乗はー１で負」「なんで、そんな数を使うの？」　そんな数が世界を変えつつある。複素数（ふくそすう）。もともとは方程式の解に現れた。2次方程式は複素数を考えるとすべて解を持つ。そのことは判別式などで高校生も学ぶ。皆さんも覚えがあると思う。カール・フリードリヒ・ガウス（1777-1855)多くの分野に貢献「数学の王」と称される。200年前、数学者ガウスがたどり着いた。複素数で方程式論を切り開く。そこから複素数の数学が始まる。複素数からさらに数の拡張が行われた。ところが一番都合の良いのが複素数であった。そのことを数学者の高木貞治が100年前に語っている。高木貞治（1875-1960)数論で大きな業績を上げる。「日本数学の父」とよばれる。図形の問題も複素数を使う。微積分も複素数が使われる。19世紀の数学が複素数で花開く。1００年前、量子力学が完成。複素数で表現される微小世界。電子の存在状態が複素数で表現される。朝永振一郎（1906-1979)1965年ノーベル物理学賞受賞前期量子力学といわれた革命前夜。物理学の革命時代の到来だ。朝永振一郎は「量子力学Ⅰ」で詳しく語る。その量子力学からトランジスタ、半導体が生まれる。工学にも強い影響を与える。これらが、その後の情報革命につながる。現在のスマホも量子力学の恩恵である。現在のAI原理は1980年代に完成。ただ、なかなか実用レベルにならなかった。その後の素子の急激な集積化。40年で10億倍ともいわれる。その結果、現在のAIが実現される。複素数が現実の世界に出てきた。そんな表現も許されると思う。実数から複素数。これは数学の抽象化の例だ。この複素数が世界に桁違いに大きな影響を与える。抽象化の思考とはそれぐらいものすごい。実は抽象化思考は現在のAIにはできない。我々人類にしかできない思考だ。私はそれを数学的思考の核心と思っている。数学は役に立たない。昔はよく言われた。現在はそんなことをいう人はいないだろう。数学が世界を変えつつある。高い抽象レベルの情報が現実空間に降りてきている。その中心に複素数がある。複素数の産物である現代テクノロジー。それを使ってわれわれは抽象思考を磨くべきだ。これが私の教育の原点だ。その抽象化思考はすこぶる面白い。しかも創造思考に結びつく。創造思考は抽象思考から生まれる。ガウスやアインシュタイン。彼らが現代をどう見てどう思うであろうか。彼らの抽象思考が現実の世界に現れる。現代は気候変動などの危機が人類に迫る。人類に何ができるか。抽象思考を磨くしかない。特に教育の分野では最重要だと思う。多くの人が抽象思考に興味を持つ。そうすれば、発見、発明、アイデアが生まれる。素晴らしい世界が未来に見える。人類の理性の勝利だ。そんな未来を夢見て発信をしていきたい。【連絡】kindle電子書籍「秘伝の数学（Σの巻き）」を出版しました。無料出版キャンペーンも行っています。好評の分野をシリーズ化して出版する予定です。ご期待ください。
16Nov
- 数学的思考に目覚めよう
  【数学的思考に目覚めよう】数学的思考（抽象化思考）とは何だろうか。お話だけでは分かりにくい。具体的に図形の問題で考えてよう。有名なメネラウスの定理を題材に考えたい。メネラウスの定理この定理の証明をやってみよう。【方針】　平行線でAM上に比を集める。鮮やかな証明だ。ただ、これで終わりではない。証明は簡単に済ます場合がある。使い方の練習（訓練）が中心。いわゆるパターン（あるいは暗記）学習だ。これからの教育はそれだけでいいわけがない。それだけではAI時代に役に立たないと思う。証明内容の振り返りに数学的思考のヒントがある。振り返りは深い思考の入口だ。証明をよく見てみよう。頂点Cから平行線を引いている。どうして頂点Cから引いたのか？簡単に納得してほしくない。「どうして？」疑問が数学的思考につながる。頂点は３つある。他の頂点からの平行線ではだめなのか。これが数学的思考の第一歩だ。皆さん、どう思いますか。実は他の頂点でもよいのだ。実際にやってみればわかる。理科の実験と同じでやってみる。数学もやってみて腹に落ちる。問いを見つめる。この問いから疑問があふれ出す。疑問を持ったらやってみる。これができるのが数学だ。やってみるという経験が思考力を産む。実際にどうなるか。平行線で比を移すという発想は同じだ。やってみよう。頂点Aから平行線を引く。対辺BC上に比を移すことになる。証明①頂点Bからの平行線でも同じようにできる。対辺AC上に比を移す。証明②うまく証明できる。このように疑問から新たな発想が広がる。証明の考え方から別解が生まれたわけだ。発想を自由に持てるところが数学の魅力だ。「数学の本質はその自由性にある」数学者カントールの有名な言葉だ。このような思考が面白くないはずがない。思考の柔軟な子供たちは特にそう思うだろう。実は疑問はまだある。いずれも平行線の辺上の比に置き換えた。平行線で比を移す。同じ考えで他の方法はないのか。実はあるのだ。証明③頂点を通り対辺に平行な直線を引いた。その平行線で比を移した。まだまだ、解法がありそうである。別解法を考える。新しい解法を創り出す。大げさにいうと創造的思考の一端である。当たり前のことかもしれない。しかし、これが思考の抽象度を上げることになる。数学的思考は抽象化思考。抽象化に向かう思考。高い視点から考える思考だ。数学に限らない何事にも必要な思考だ。創造する思考といってもよい。現在のAIにはできない思考。人類に与えられた大切な思考。しかも、とても面白い。簡単な数学でもこの思考はいくらでも鍛えられる。この力をつけることは、今後の教育の大きな問題だと思う。【お知らせ】2025年11月中旬に電子書籍、kindle出版「秘伝の数学」を出すことになりました。数学的思考を楽しみながら鍛えることが目標です。従来の受験参考書とは異なる内容です。今回は「秘伝の数学（Σ記号の巻）」ご好評の内容をシリーズ化する予定です。
30Oct
- 【（ジェイソン先生）実習生と仲間たち（4１）】
  【（ジェイソン先生）実習生と仲間たち（4１）】　　　　　　　　　ジェイソン先生。以前、フィリピンの日本語学校での先生だ。10年以上学校に在籍していたベテラン先生。現在は日本で働いている。最初は中部国際空港。現在は大分空港で働いている。厳しいが優しい先生だ。しかも生徒をよく見ている。若いが、風格がにじみ出ている。一度、こんな経験があった。授業に行くと一人の生徒が泣いている。他の生徒もざわついている。「どうしたんですか」ジェイソン先生に言われた。「大丈夫です。授業を始めてください」凛とした言葉であった。生徒達も先生を信頼していた。「先生は怖いけど、いてくれないと困ります」緊張感があるが、明るいクラスであった。こんなこともあった。授業でよく歌を歌った。歌で発音や語学の練習をする。「上を向いて歩こう」歌いやすく日本語の勉強になる。日本にいる実習生に贈りたい歌だ。この曲を練習していた時だ。ジェイソン先生が言った。「日本にいるとき、よく歌っていました」生徒達は驚いた表情をする。さびしい思いで働いていたのであろう。苦労していたジェイソン先生。それでも、働き続けた先輩先生。現在、学校をやめて日本で働いている。彼なら指導力がある。日本の良さを理解している。フィリピン人の気持ちも理解している。また、日本語の先生をしてほしい。フィリピン人生徒のリーダーになってほしい。そんな、勝手な思いを抱いている。
15Sep
- 【（ジム先生に日本で会う）実習生と仲間たち（40）】
  【（ジム先生に日本で会う）実習生と仲間たち（40）】2年ぶりに日本でジム先生に会った。私がいたフィリピンの日本語学校。そこで日本語教師をしていたジムさん。イケメンの33歳若者だ。私が初めてフィリピンで教えたクラス。そのクラス担任がジム先生であった。車の修理、製造クラス。ごつい大柄の男の生徒ばかり。年齢高も30代前後の生徒が多かった。ジム先生より年齢の上の生徒たちもいた。少しやりにくいようであった。実際、そんな雰囲気を感じた。こちらは初めてのフィリピンクラス。慣れない上に、緊張していた。私は授業に必死であった。幸いに生徒たちはよく授業を聞いてくれた。本当に優しい生徒達だ。　　　　　（日本語学校の実習生たち）一生懸命に教えると伝わる。これは古今東西同じだ。数学新任教師時代を思い出した。初めての授業で戸惑うことが多かった。タガログ語はわからない。英語だってあまり通じない。生徒達は分かっているのか。正直、不安だらけであった。ジム先生のおかげでかなり助かった。ジム先生もクラス運営で苦労していた。今思うと、お互いに苦労していた。食事にも数回一緒に行った。このとき、ハネル先生、アダム先生とも知り合った。若いフィリピン人先生との交流は新鮮であった。彼らはそれぞれ事情を抱えていた。そのジム先生が私の地元名古屋に来た。これから数年は名古屋で働くらしい。何か不思議な縁を感じる。今度は私がフオローする番だ。ジム先生は2度目の来日。日本がそんなに好きなのか。彼は言った。「日本は大好きです」ずっと働きたいという。「私には妹がいました」「えっ？いましたって、どういうこと」家族について話し出した。「妹はガンで亡くなりました」経済的な事情で、十分医療が受けられなかった。コロナのころ、25歳の若さで亡くなったという。最初の来日は治療のお金を貯めるためであった。「私は病院を信じていません」いろいろあったようだ。そこで、日本に来て、日本が好きになった。安全、安心、食事もおいしい。人も優しい。なによりも、医療が充実している。「日本に家族を連れて、住みたいです」彼の将来の夢だ。ガールフレンドもフィリピンにいる。今は愛知県の回転ずし店で働いている。仕事はかなり過酷らしい。「本当は日本語の先生をやりたいです」こう話すジム先生の目は輝く。フィリピン人実習生向けの日本語教育だ。ジム先生と日本でできることを、今考えている。日本で働いているフィリピン人先生は他にもいる。彼らと協力して教育施設を作る計画だ。日本の若者や日本人にとっても大きな利益になる。
31Aug
- ㉞三角形の性質（外心、垂心、重心の関係）
  ㉞三角形の性質（外心、垂心、重心の関係）今回は三角形の外心、垂心、重心について。この3点O,G,Hの位置関係の関係について調べよう。実は、この3点は同一直線上に並ぶ。しかも、OG：GH＝１：２となっている。今回は、この性質について調べてみよう。例によって、複数の方法で証明してみよう。どこを手がかりにしたらよいか。重心は頂点と対辺の中点を結んだ線（中線）の交点。外心は辺の垂直二等分線の交点。共通点するのは、辺の中点である。中点で外心と重心が結び付きそうだ。外心O、重心Gを結んだ線上に垂心Hがある。そのような流れで証明してみよう。【証明１】直線OG（直線ｍとする）を考える（図の赤線）点Aから対辺BCに垂線ARを引く。直線ｍと垂線ARの交点をＨ１とする。（このＨ１が垂心となることが証明の目標だ）ＯＭもAH1も辺ＢＣに垂直なので、ＯＭとAH１は平行。よって⊿ＧＯＭ∽ＧＨ１Ａ点Ｇは重心なのでＡＧ：ＧＭ＝２：１これからＯＧ：ＧＨ１＝１：２　……①同様に頂点Bからも垂線を引く。点Ｂから対辺ＣＡに引いた垂線とｍの交点をＨ２とする。同様にBH２とONは平行になる。この場合も点Gは重心だから、BG：GN＝２：１⊿GON∽⊿GH2BこれからOG：GH2＝１：２……②前半と同じ論理である。① 、②よりH１とH2は同一点になる。これは⊿ABCの垂心Hである。（これは頂点から対辺に下した３つの垂線が一点（垂心）で交わる証明にもなる）次に、別の証明を考えてみよう。ベクトル利用の方法がよく知られている。【証明２】　外心Oを始点とするベクトルを定める。OH＝3OGベクトルでは鮮やかに説明される。証明１よりこの方法は簡単だ。ただ、仕組みが分かりにくい。証明できるが、よく分からないということだ。（GeoGebraでの作図）頂点A、B、Cを外接円周上で動かして定理を確認できる。複数の解法を考えると、仕組みが分かる。数学的思考の特徴だと思う。今回はここまでです。[義高1]
18Aug
- ㉝（三角形の性質（垂心の話）】
  ㉝（三角形の性質（垂心の話）】今回は三角形の垂心について。三角形の垂心とはどんな点でしょうか。三角形の５心の一つ。すなわち、重心、内心、外心、傍心、そして垂心だ。垂心の定義は以下の通り。3つの垂線の交点が垂心。３つの垂線が1点で交わる。どうしてでしょうか。その理由（証明）を考えてみよう。３つの垂線が１点で交わる。⇔２つの垂線の交点をH、この点Hと他の頂点を結んでできる直線が、その頂点の対辺に対する垂線になっている。この方針で証明してみよう。角を順に移して証明してみよう。図からわかるように、∠D＝α＋β＝９０°よって∠F＝∠HAC＋∠BCA＝α＋β＝９０°　　　　　　　　　　これでAH⊥BCとなる。　　次のような面白い証明もある。垂心は外心になる　　という証明？⊿ABCの頂点を通り対辺に平行な直線を引く。その直線からできる三角形がA´B´C´だ。⊿ABCの垂心Hは⊿A´B´C´の外心になっている。　垂心の本質が見えてくる。学生時代、この証明を知って感動したものだ。　証明できるであろうか。HA、HB、HCはC´B´、C´A´、A´B´の垂直二等分線。だからHは⊿A´B´C´の外心になっている。最後にチェバの定理（の逆）を使って証明してみよう。対辺に引かれた垂線の作る比を求める。【課題】BM：MC＝(１/tanB):(１/ tanC)としても証明できます。いろいろな証明を考えてみる。定理の原理が見えてきてとても楽しいものです。今回はここまでです。
09Aug
- ㉜（三角形の性質（外接円の半径）】
  ㉜（三角形の性質（外接円の半径）】今回は三角形の外接円(の半径)について。外接円の半径Rは正弦定理に出てくる。半径Rを複数の方法で求めてみよう。⊿ABCに対し、図のように直径BA´を引く。円は⊿ABCの外接円。弦BC対する円周角より、∠A＝∠A´。さらにBA´は直径より、∠A´CB＝９０°⊿A´CBに対して　　sinAを辺の長さa、ｂ、ｃで表わすと　　　　　　　　　　　　　　　　（前回のブログ参照）　　円周角の定理からsinA、さらにRを導いた。図形の性質をうまく使った解法だ。それでは、他の解法はないだろうか。（別解を考えることは大切な数学的思考です）手がかりとして内接円の半径を求めてみよう。　内接円の半径ｒが三角形の高さになることを使う。半径rを三角形の面積と関係づける考え方だ。　同様に、三角形の面積Sと関係づけて外接円の半径は求まらないだろうか。　どのように⊿ABCの面積を表すか。⊿OBCが求まる。他の２つの三角形も同様。　考え方は内接円の半径の解法と同じだ。3つの三角形の和で⊿ABCを表す。⊿OAB＋⊿OBC＋⊿OCA＝⊿ABCさらに、sin2A+sin2B+sin2Cの部分を辺の長さで表す。この関係式を使い、計算を進める。その前に、三角形の面積Ｓについて。　さらに計算を続ける。　今回は面積に関係づけて外接円の半径を求めた。（正弦定理の利用ではない）。これは三角形の内接円の半径を求める方法を真似たものだ。方法を真似て考える。これは、数学を学ぶ際の基本的な思考といえる。さらに、いろいろな解法を考えるところに数学の楽しみがある。　　今回はここまで。　　　　次回も三角形について考えてみます。
03Aug
- ㉛【三角形の性質（辺と角）①】
  ㉛【三角形の性質（辺と角）①】　今回から三角形の性質について考えます。三角形は辺と角から構成されています。辺と角の関係について考えてみましょう。三角形は3つの内角、3辺から成り立っています。内角の関係式は　　A+B+C=180°辺と角の関係について。基本の関係式を導きましょう。この３式を連立する。① 式は余弦定理です。A＝９０°のとき①式は三平方の定理となる。では、①式を三平方の定理から導いてみましょう。さらに角の正弦、余弦の値を辺から求めてみます。ルートの中は、a、b、cの対称式である。（３つの文字の2つを入れ替えても式は変わらない）① 式から正弦定理が証明できます。① 式は２R（Rは外接円の半径）に等しくなります。どうしてでしょうか。　次回は三角形に関わる、外接円、内接円、傍接円について考えてみましょう。
24Jul
- ㉚【Σｋのｎ乗公式の特徴】
  ㉚【Σｋのｎ乗公式の特徴】Σkのｎ乗公式の特徴を考察する。公式をまとめてみよう。式から分かることは因数n(n+1）を持つことだ。最初にその理由について考えよう。公式を求めてみよう。①式の階差式を利用する。②式が成り立つ。同様な階差式③を使うと④式が成り立つ。同様に導かれる式を並べてみよう。上の関係式からSは因数n(n+1)を持つことが分かる。他の階差式ではどうか。差積の階差式の利用だ。積の項数を増やす。⑧式が得られる。同様にして次に、このn(n+1)について。具体例を考えよう。他の例を考えよう。広がりを表す例。次のような広がりもよくみられる。　社会や自然の「累積的変化」「相互作用の広がり」を表す例を紹介した。Σｋのn(n＋１）は、変化の本質的な中枢を担っている。
13Jul
- ㉙【Σｋの公式（まとめ）④】
  ㉙【Σｋの公式（まとめ）④】今回はΣの公式のまとめ。公式は階差の式から求められる。階差の式はいろいろある。どのような階差式で求めたか整理してみよう。【１】　ｎ乗の展開式の階差式これから、計算を進めるとｋの次数を上げれば、Ｓについての漸化式が得られる。【２】差積の階差公式同様にしてΣｋの2乗の公式を求める。同様にして、積の項を増やして計算すればよい。この階差式からSの次の性質がわかる。◎ Sはn(n+1)の因数を持つ。【３】積分の利用階差式⑧を使う。積分することによりｎの次数が上がることを利用する。この場合は、積分で次の指数の和が求まる。これならΣｋの8乗の公式も求められそうだ。最後にこの公式を求めてみよう。同様な積分計算を続ける。数学は原理を考えるもので、公式を覚えるものではありません。今回はここまでです。
06Jul
- ㉘【Σｋの公式の性質③】
  ㉘【Σｋの公式の性質③】今回はΣの公式の性質について。階差の公式利用でΣの公式を求めた。前回までで求めた公式をまとめてみよう。1これらの公式を簡単に求める方法はないか。今回は積分を使う方法を紹介する。Sの階差式を考える。次の①式だ。2この①式を積分すると②式となる。両辺3倍すると③式。ここから④式のようにΣｋの3乗の式が求まる。原理は階差の公式だ。【注意】階差で定数になるのはnの1次式。ところが和Sの性質からSはnを因数に持つ。よって④式の１次式はKnの形となる。3実際に確かめてみよう。さらにΣｋの4乗の式を求めてみよう。4こんな具合に積分で和Sが求まる。少し面白かったのは生成AIが分からなかったことだ。ヒントを与えたらたちどころに解いた。これは、今後の学びについてのヒントになる。AIとともに考える。強力な相棒だ。なにしろ知識抜群の優等生だから。次回はΣ計算のいままでの考えをまとめたい。
02Jul
- 【㉗Σｋの公式の性質②】
  【㉗Σｋの公式の性質②】今回はΣの公式の性質について。階差の公式利用でΣの公式を求めた。最後はΣｋの８乗の公式を求めることが目標だ。今回は和の式の性質。具体例から調べる。「特殊から一般」の例だ。Σｋの１乗、２乗、３乗、4乗の公式をもとめる。今回は次の階差の公式を使う。1このように求めることができる。Σｋの2乗の公式も同様にして求めよう。2次はΣｋの3乗の公式だ。3ここまでの公式はよく知られている。さらにΣｋの4乗の公式だ。4計算がかなり煩雑だ。注意として共通因数はくくりだす。係数も分数で前に出す。この計算から和Sは因数n(n+1)を持つ。5ここまでの計算でわかること。Sはn(n+1)を因数に持つ。使う階差式で和Sの性質が分かる。この階差式でΣの8乗の公式は求まるか。計算がかなり大変だ。発想を少し変えて求める。次回考えてみよう。
26Jun
- 【㉖Σｋの公式①】
  【㉖Σｋの公式①】区分求積法で面積を求めている。そんなとき、和の計算でΣの公式が必要になる。そこで、今回はΣの公式について考えよう。あなたはΣｋの８乗の公式が導けるか。このブログではそういった問題を扱う。数学的思考でより本質的な問題を扱う。Σの公式の使い方ではない。あのChatGPTですらわからない。ただ、ヒントを与えたらたちどころに解いた。さすが知識抜群の超優等生。我々は考え方（思考力）をいかに身につけるか。知識だけではない思考力。これは高いレベルの目標である。今後の教育の大目標だと思う。Σの公式を導く。発想はとても簡単だ。積分の区分積分法はΣ公式を使う。逆にΣ公式は積分公式から導く。それだけである。最初に教科書の解法を復習しよう。Σｋの公式から求めよう。和の計算は階差の公式を使う。1① はｋとｋ－１という１の差のある式の差。これを階差の式という。この階差の式を上のようにすべて加える。そうすると途中が打ち消しあって最初と最後が残る。これが和の計算の原理だ。とてもシンプルであるが応用のある原理だ。同様に階差の２乗の公式を求めてみよう。階差の指数を３にすればよい。2　このようにして順にSを求めることができる。Σの3乗、Σの４乗の計算を行ってほしい。式の特色に気が付くであろう。　式をみて気が付くこと。Sはいつもnを因数に持つ。いいかえれば、Ｓ（0）=0となる。理由は③式からわかると思う。（実はS（－１）＝０にもなる）実際に計算してみると見えてくることが多い。階差の式の工夫はできないか。いつも同じ階差の式ではないのだ。階差式④を見てほしい。3このように求めることができる。Σの2乗の公式も同様にして求めてほしい。これからの目標はシグマ8乗の式は導けるか。いままでの方法だと膨大な式になりそうだ。実際にやってみるとよい。少し工夫がしたい。いつも計算を頑張るだけではない。工夫やアイデアが数学には大切だ。ここが知識だけではできない思考だ。それが積分利用の方法だ。ポイントは階差の公式と積分の利用。次回、具体的に考えてみよう。

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