チャレンジしMATH(595)

ネット拾い問題

ニュートンの冷却法則を用いた微分方程式の問題。

―――俺の答え―――

$$\begin{array}{r}\mathrm{プ}\mathrm{リ}\mathrm{ン}\mathrm{の}\mathrm{温}\mathrm{度}\mathrm{を}T°C、6\mathrm{時}\mathrm{か}\mathrm{ら}\mathrm{の}\mathrm{時}\mathrm{間}\mathrm{を}t\mathrm{時}\mathrm{間}、\\ \mathrm{比}\mathrm{例}\mathrm{定}\mathrm{数}\mathrm{を}k、\mathrm{積}\mathrm{分}\mathrm{定}\mathrm{数}\mathrm{を}{C}_1,C\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}。\\ \mathrm{プ}\mathrm{リ}\mathrm{ン}\mathrm{の}\mathrm{温}\mathrm{度}\mathrm{の}\mathrm{降}\mathrm{下}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{は}\mathrm{そ}\mathrm{の}\mathrm{時}\mathrm{の}\mathrm{プ}\mathrm{リ}\mathrm{ン}\\ \mathrm{の}\mathrm{温}\mathrm{度}\mathrm{と}\mathrm{冷}\mathrm{蔵}\mathrm{庫}\mathrm{の}\mathrm{温}\mathrm{度}\mathrm{の}\mathrm{差}\mathrm{に}\mathrm{比}\mathrm{例}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{の}\mathrm{で}\\ \frac{dT}{dt}=-k(T-4)\\ \int \frac{dT}{T-4}=-k\int dt\\ \log (T-4)=-kt+C_1\\ T=C{e}^{-kt}+4\\ t=0\mathrm{で}T=69\mathrm{だ}\mathrm{か}\mathrm{ら}Ｃ=65\\ t=1\mathrm{で}T=30\mathrm{だ}\mathrm{か}\mathrm{ら}{e}^{-k}=26/65\\ \therefore T=65(26/65{)}^t+4\\ \mathrm{欲}\mathrm{し}\mathrm{い}\mathrm{の}\mathrm{は}T=7\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}\mathrm{の}t\mathrm{だ}\mathrm{か}\mathrm{ら}、\\ t=\frac{\log (3/65)}{\log (26/65)}=3.357\\ \mathrm{従}\mathrm{っ}\mathrm{て}\mathrm{答}\mathrm{え}\mathrm{は}、9\mathrm{時}22\mathrm{分}\end{array}$$

チャレンジしMATH(593)

大阪府立大学・工(2010年)

簡単な漸化式の問題。

―――俺の答え―――

⑴

$$\begin{array}{r}{a}_n=\frac{1}{b_n}\mathrm{と}\mathrm{お}\mathrm{く}\mathrm{と}、b_1=4、\\ \frac{1}{b_{n+1}}=\frac{1}{b_n+3}\\ \therefore a_n=\frac{1}{4+(n-1)·3}\\ a_n=\frac{1}{3n+1}\end{array}$$

⑵ $$\begin{array}{r}n=0,1,2,···\mathrm{で}\mathrm{考}\mathrm{え}\mathrm{る}、\mathrm{両}\mathrm{辺}\mathrm{を}Z\mathrm{変}\mathrm{換}\mathrm{し}、\\ zA(z)-a_{0}z=2A(z)+\frac{3z}{z-3}\\ A(z)=z\frac{z}{(z-3)(z-2)}\\ =\frac{3z}{z-3}-\frac{2z}{z-2}、\mathrm{逆}Z\mathrm{変}\mathrm{換}\mathrm{し}、\\ a_n=3^{n+1}-2^{n+1}\\ n=1,2,···\mathrm{に}\mathrm{戻}\mathrm{し}、\\ a_n=3^n-2^n\end{array}$$

チャレンジしMATH(596)

東京理科大学・薬(2011年)

穴埋めだから解法は何でもよい。

―――俺の答え―――

$$\begin{array}{r}n=0,1,2,···\mathrm{で}\mathrm{考}\mathrm{え}\mathrm{る}。\mathrm{両}\mathrm{辺}\mathrm{を}Z\mathrm{変}\mathrm{換}\mathrm{し}、\\ zA(z)-za₀=4A(z)+\frac{\frac{1}{3}z}{z-\frac{1}{3}}\\ A(z)=\frac{z}{z-4}+\frac{\frac{1}{3}z}{(z-\frac{1}{3})(z-4)}\\ =\frac{z}{(z-\frac{1}{3})(z-4)}\\ =\frac{-\frac{1}{11}z}{z-\frac{1}{3}}+\frac{\frac{12}{11}z}{z-4}\\ \mathrm{こ}\mathrm{の}\mathrm{両}\mathrm{辺}\mathrm{を}\mathrm{逆}Z\mathrm{変}\mathrm{換}\mathrm{し}、\\ a_n=\frac{12}{11}·4^n-\frac{3}{11}·(\frac{1}{3}{)}^n\\ n=1,2,3···\mathrm{に}\mathrm{も}\mathrm{ど}\mathrm{し}、\\ a_n=\frac{3}{11}(4^n-(\frac{1}{3}{)}^n)\end{array}$$

チャレンジしMATH(594)

信州大学・理(2001年)

―――俺の答え―――

⑴

$$\begin{array}{r}=\frac{1}{2}\int e^{ax}(e^{ix}+e^{-ix})dx\\ =\frac{1}{2}\int (e^{(a+i)x}+e^{(a-i)x})dx\\ =\frac{e^{(a+i)x}}{2(a+i)}+\frac{e^{(a-i)x}}{2(a-i)}\\ =\frac{e^{ax}}{a²+1}·\frac{(a-i)e^{ix}+(a+i)e^{-ix}}{2}\\ =\frac{e^{ax}}{a²+1}(a\sin x+\cos x)+C \\ (C\mathrm{は}\mathrm{積}\mathrm{分}\mathrm{定}\mathrm{数、iは虚数単位})\end{array}$$

⑵

=1

⑴は、な～んにも工夫要らずで計算出来る、三角関数の指数関数化。

⑵は、グラフにすると、◣と◢の面積。

共に1/2が二つで、1。

場合分け→区間[0,1]、区間[1,2]で積分計算、は時間のムダ

チャレンジしMATH(592)

中国人民大学

俺の答え

$$\begin{array}{r}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{=lim}(1+\frac{1}{x²-1}{)}^x\\ =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\{(1+\frac{1}{x²-1})(1+\frac{1}{x²-1}{)}^{x^2-1}{\}}^{\frac{1}{2}}\\ =(1·e{)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}\end{array}$$