まずは数学の基本をば、
なんで物理の特急コースなのに初っ端が数学なんですか？
と思うかもしれませんが、
自然は数学の言葉で書かれている
という言葉からもわかるように、自然科学、ここでは特に物理学を理解するためには何が何でも数学が必要なんです。世の中には猿でもわかるーみたいなわけのわからん解説本が往々にして蔓延っていますがわかるわけがありません。あれで猿でもわかるなら物理学者はとっくに宇宙の真理にたどり着いていることでしょう。
で、今回は特急コースですので、数学らしい数学はやりません。理解の上で必要なところを引っ張ります。なので初めの挨拶でも言いましたが、完璧に理解することはできないはずです。物理の世界をざっと見て行きましょうねーという話であることを忘れずに、特に学部生なんかは自力でしっかりやることをお勧めします。
ここで長ったらしい前置きを終わって、本編に行きましょう。自然を記述する数学とはどのような言語なのか、その基本ルールを探ります。
あ、簡単です。簡単で、大事なことです。
1.数字
数字って知ってますよね？
2,3,-5,2/7,
この辺は全部数字です。特に分けて言うなら実数で、有理数です。そんなことはどうでもいいです。数字です。
複素数とか知ってると思いますが、それは出て来た時にやります。とりあえず入れといてもいいですが知らなくてもいいです。
では、これはなんでしょうか
a,b,x,y
これも数字ですね。
文字だろ！！
って聞こえてきそうですが、本質を考えれば、文字は、数字の代わりに置いているだけであって数字です。そこの認識が怪しい人が多い。だから代入とかであっという間にやられる。
改めて考えましょう。
何が入るか分からないから、文字を置いておく。
というのが基本の考えなので、文字も元を正せば数字です。
2.特別な文字
文字は全部数字ですよ。とたった今言いました。代わりにおいたんですよ！とも言いました。
しかし、何にでも勝手において言い訳じゃなく、みんな統一で作ったルールが決まっている文字があります。
たとえば、
π=3.141592…
円周率です。実際はπじゃなくても、代わりにおいただけならaでもxでもいいんです。
でも、重要でとてもよく使うから、いちいち断らなくていいようにみんなπを使おうね！
って決めました。
それだけの話です。
他には
eとかiとか、わからなくてもいいです。
もちろん、他のところでπを使っても構いません。しかし、何となく円周率に見えてしまうので、しっかりこれはどういう文字です！！と宣言してください。そうすれば何も問題はありません。
これで文字がなんだかわかったかな？
3.方程式
次に方程式です。簡単な例をあげます。
3x+6=0
99.9%の人は、5秒くらいで答えがわかるでしょう。
答えがわかることは大事ではありません。ここで言いたいのは、この一行が何を言っているか？ということです。
四則演算に関しては説明しません。しかし等号の意味は少し考えて見ましょう。
これの言いたいことは、
右側と左側は全く同じ数字だよ！！
ってことです。これが本質です。
え、文字じゃん。数字？！
ってなった人は勉強不足です。このページをもう一度頭から読み直すこと。笑
別に移行して割り算とか、解法は後からゆっくり考えればいい話です。この式の言ってる意味はなんだ？と考えられることが大事です。
それができた上で、もちろん基本の解放を使うことは重要になります。解の公式とかです。
話の順番を間違えないでください。まず式があって、等しいよー、そのためにはxは何かなー。という考察の上に解の公式などがあります。
それがわかれば、具体的な解法はその都度やればいいんです。
4.関数
数学をやっていると関数という概念が出てきます。小学生からやってます
ともなって変わる数
とかいうやつです。中学では、
比例、反比例、一次関数、云々
高校で数字2までやると、
指数対数関数、三角関数なんていう、いかつい名前のも出てきますね。
これらは全て関数と呼ばれます。それぞれの形は様々で全く違うのに関数です。では共通点はなんでしょう。
それは、
他の数字の変化の影響を受けて変化する
ということです。その影響の受け方によって名前が変わっているんですね。
片方がにばいさんばいになるともうかたほうも、、、、、
みたいな呪文を小学校で唱えたのは、比例とはこういう関数です。というのを無理やり叩き込んでたということです。
これに関しても、それぞれのものはその時やります。
で、これもある種数字と言えますが、どちらかというと、数字工場のイメージです。
3を入れたら6
1を入れたら2
ー6を入れたらー12
さて、どんな工場でしょうか。
答えは簡単で二倍してるだけです。
この工場にfと名前をつければこれも文字で表せます。
例えば f(x)=2x
はい。カッコが来ました。
こいつがいるのは、ただの数字じゃないよ！！って言ってるんです。
xが変わるとつられて変わっちゃう関数だよ！ってことです。
で、右辺がその内容を具体的に表してますね。上の数字を対応させた表をみれば意味はわかるはずです。
もし、gというのがxにもyにもつられて動くなら、これも単純にg(x,y)と書けばいい。
書いてないと何かわからなくても、こう書けばよくわかりますね。
関数とはそういう意味だったんです。
5.さいごに
数学の基本はこれで終わりです。
何か式をいじっていてわけがわからなくなったら、必ず今書いた文字が何を意味するのか考えるようにしてください。解の公式を丸暗記して必死に思い出すより意味のある思考になると思います。
ただし、直ちに学校の成績を伸ばしたい！という中学生高校生は公式暗記の方が早い場合もあるので、それをダメだとは言いませんが、、、笑
簡単だったはずです。
が、ここの認識がかなり大事であると私は思います。改めてこういうことを考えて見ることも、時に必要だと思うのでまとめました。
微積分や線形代数みたいな大学数学、もしくは高校の範囲でも、何か新しいことが出て来た時に公式や解法の暗記をすることは、その時のテストの点数にはなるかもしれませんが、役に立つ知識になるとは言えないでしょう。
何事も、大事なのは理解です。