２倍と×２

　何かを２倍にするというとき、記号でやれば「ａ×２」とするが、結果を表記したり、更にそれを３倍するといったときには「２ａ」「２ａ×３」となる。何の不思議もないのだが、本当に不思議ではないのだろうか。子どもたちの算数・数学でのつまづきを考えると、案外大きな問題を含んでいるようにも思える。
　もう少し言うと、ａ×ｂも、ｂ×ａも、ともにａｂとなる。ａ×（ｂ＋ｃ）は「ａｂ＋ａｃ」で「ｂａ＋ｃａ」にせず、ａ×（ｂ＋２）も（ｂ＋２）×ａも「ａｂ＋２ａ」とすることの説明を教師はどうしているのだろう。ぼくは経験的にそうするものだと慣れてきて、「数字は前」「アルファベット順」という指示以外の説明をされたようには覚えていないのだが。
　（ａ＋ｂ）×（ｃ＋ｄ）のとき、前から「ａｃ＋ａｄ＋・・・」と始めるのか、後ろから「ｃａ＋ｃｂ＋・・・」と始めるのか。２倍は×２だから、（ｃ＋ｄ）倍と考えて後ろから始めることもありうるのではないだろうか。後ろから始めたい子が、前からやられてまごまごしているうちに遅れてしまうといったことも起こり得るだろう。
　また、ａのｂ倍とｂのａ倍は、結果としての数量は同じでも、ａｂとｂａの書き分けをするほうが、初歩段階ではわかりやすいのではなかろうか。結果的に同じだということに慣れて来ると自然に決まって来そうに思うのだが。
　例えば、（－３）×２はやさしいが、２×（－３）は難しい。角張って言えば、掛けるとはどういうことか、負数とはなにか、その上でマイナスを掛けるあるいはマイナス倍するということになるはずだ。マイナスを掛ける、マイナスで割るとはどういうことなのかを易しいことだと思う子どもが普通とは思えない。２×（－３）を、ａ×ｂ＝ｂ×ａだから、（－３）×２とする。答えはいずれ－６で同じなのだ、というのは、計算処理であって、意味とは違う。だから、これで育つと、計算して答えは出せるが、説明できないとか、応用できないとかと、よく指摘される状態になるのではないか。われわれは、数直線でやったように思うが、それも理解の補助だったようで、正負とは方向性のことだという徹底はなかったように思う。この負数概念の出発点だったという税の既納・未納とか、借金とかの話があったようにも思うが、例え話としてしか理解しなかったのは、ぼくの問題なのか、教え手の問題なのか、なんて責任回避したい気になってしまう。
　正と負では、もっと違う考えをする子もいる。いたずらっ子の間に合わせ勉強によく付き合ってきたが、その中で知った、なるほどの問題だ。（＋２）×３は、数直線的に考えた＋２到達点を基準として、負方向へ、１・２・３倍といくと考えるのだ。そうすると、到達点は－４となる。これが答だというのだ。（＋２）×３は、０基準で、もともとの＋２を１倍として含んでいる。３倍するのは、あと２回分足していっている。＋２の－３倍は、最初の－１倍部分は＋２だから、相殺して消えて、残るのは４になると考える。○○に□をかける、○○を□倍するというのは、正の場合は簡単だが、負では、負の方向性だけが大切なのでもないのだ。元の数というものをどう考えるか、つまり（＋２）に－をかけるというときの２は、いわば絶対値なのだ。正数と絶対値とを、概念として教えるのは発達段階としてあとになるだろうが、負数計算の持っている便宜的な面は認識しておくべきだろう。そういうことで躓く子もいるのだから。数直線で＋２を示して、その＋２を無視して、－３倍をいきなり０点から負方向へと説明するなどは、乱暴なのだ。もっともこれは正数でも実は同じで、＋２地点でなくなぜ０から始めるのか、悩む子もいる。借金で考えるともっと厄介で、例えば２万円の金を見せてこの３倍貸せと言ったとすると、借りたときには見せ金を含めて８万所持することになる。
　「家が２軒」と「２軒の家」は、前者はａ２、後者は２ａと感じる。応用問題が解けない、国語力がなくて算数に影響するといったことを言おうとする人は、ぜひこのあたりまで突っ込んで子どもの考え方を探って欲しいものだ。ことば感覚と、数的感覚をどう一致させていくか、数学に長けた人の説明でなく、悩んだ人の話が大切になる。
　例えば、６ａ＋３を「３（　）」で括るとき、「６は２×３だから、３（２ａ＋１）となる。」ですますか、「６は２×３、３×２だから、６ａ＋３は（３×２）ａ＋３、その共通する３で括って３（２ａ＋１）となる。」までやるか、その実験をしてみて欲しいと思う。やることが多く授業時間が足りないという中身の問題を、伸びることこそ大事の視点で見つめる必要があろう。
　文学的には、「人家が数百軒もあった」と「数百軒もの人家があった」とでは、見えた事実は同じでも、見る心情は異なり、だから描写された情景としては異なる。国語の読み深めでは、こういったことが当然の問題となる。それをやっている子どもが同じことばを算数数学的にどうとらえるか。
　今回の指導要領改訂では、言葉が全教科での重要課題とされた。予想される内容はお粗末だが、大いに乗るべきだと思う。それは、今まで問題視されて来なかった子どもの感じ方、考え方に迫るチャンスになりうるからだ。子どもが伸びるという実績を作ってしまうことだ。結果ではなく考える過程を大切に、という言葉は良く聞かれるが、考えるのは言葉で考えるのだということをそこにしっかり据えておきたい。それにはまず、国語畑のものが算数・数学や理科などについて、算数・理科畑の人が国語について、というように教科をこえて討論しなければならない。教科を越えて発言する人はほとんどいない現状だ。多教科の指導をしている小学校教師こそ、鍵を握っていると思っている。
　大きな饅頭２個と小さな饅頭３個のどちらが得か、「２ｘ＝３ｙ」の条件「ｘ＝３／２ｙ」つまり「ｘがｙの１倍半」という計算に至る素地を蓄えて子どもは育って来た。現在の一人っ子条件や肥満警戒条件では、別の対策を考えなければならない事情はあるが、子どもの感じ方、考え方に、どこまで迫れるかは、いつも基本の課題なのだろう。
　薪作りに数日間安曇野に行って、いつものような乱読用の本がなかったので、いつか読もうと置いてあった数学の勉強の本を読んだ。それでいつかまとめようと思っていたメモを、文にする気になった、というわけです。まじめな本も、しっかり読まなければという自戒も一応あるのです。が、つまり、この名著？といわれた中身に、納得できなかったわけです。ａｂとｂａ、家２軒と２軒の家、前から掛けるか後ろから掛けるかなどなどは、子どもの頃から気になっていた長い負い目の歴史がぼくにはあります。
　ちょうど、宝くじの売り出しに列ができたといったニュースが流れている。去年当たりが出たところと、出なかったところとでは、確率はどうなのか。何年生の勉強なのだろう。売り出し本数・金額と、当選賞金総額と、その比較を知っていても、当たる人が何人かいるという事実への期待・願望・祈りが強いのだろう。それに払う金の高さは、ぼくにはもったいなくて、清水に行かなくてももちろん出さない。それより３回断連続にする予定の金の話を、サブプライムで締めくくったのに、事情の変わるたびに書き換えるめまぐるしさに飽きて、ほってあるほうが大変だ。