\documentclass[a4paper,12pt]{jsarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{align*}
G:=\{ x\} \tag{1}
\end{align*}
とする．
任意の $x\in G$ に対して，
\begin{align*}
xx:=x \tag{2}
\end{align*}
とすると，$G$ はアーベル群（可換モノイド，可換半群，可換マグマ）をなす．\\
（これを \textgt{自明なアーベル群} とよぶ．）
\bigskip
\noindent
すなわち，
\begin{itemize}
\item
任意の $x,\ y\in G$ に対して，
\begin{align*}
xy\in G.
\end{align*}
\item
任意の $x,\ y,\ z\in G$ に対して，
\begin{align*}
(xy)z=x(yz).
\end{align*}
\item
次をみたす $1\in G$ が存在する：
任意の $x\in G$ に対して，
\begin{align*}
1x=x1=x.
\end{align*}
\item
任意の $x\in G$ に対して，次をみたす $x^{-1}$ が存在する：
\begin{align*}
xx^{-1}=x^{-1}x=1.
\end{align*}
\item
任意の $x,\ y\in G$ に対して，
\begin{align*}
xy=yx.
\end{align*}
\end{itemize}
\bigskip\bigskip
\noindent
（証明）
\begin{itemize}
\item
任意の $x,\ y\in G$ に対して，
\begin{align*}
xy\in G.
\end{align*}
実際，
\begin{align*}
xy
&= xx \qquad(\because(1)) \\
&= x \qquad(\because(2)) \\
&\in G.
\end{align*}
\bigskip
\item
任意の $x,\ y,\ z\in G$ に対して，
\begin{align*}
(xy)z=x(yz).
\end{align*}
実際，
\begin{align*}
(xy)z
&= (xx)x \qquad(\because(1)) \\
&= xx \qquad(\because(2)) \\
&= x. \qquad(\because(2)) \\
x(yz)
&= x(xx) \qquad(\because(1)) \\
&= xx \qquad(\because(2)) \\
&= x. \qquad(\because(2))
\end{align*}
したがって，
\begin{align*}
(xy)z=x(yz).
\end{align*}
\bigskip
\item
\begin{align*}
1:=x \tag{3}
\end{align*}
とおくと，任意の $x\in G$ に対して，
\begin{align*}
1x=x1=x.
\end{align*}
実際，
\begin{align*}
1x
&= xx \qquad(\because(3)) \\
&= x. \qquad(\because(2)) \\
x1
&= xx \qquad(\because(3)) \\
&= x. \qquad(\because(2))
\end{align*}
したがって，
\begin{align*}
1x=x1=x.
\end{align*}
\bigskip
\item
\begin{align*}
x^{-1}:=x \tag{4}
\end{align*}
とおくと，任意の $x\in G$ に対して，
\begin{align*}
xx^{-1}=x^{-1}x=1.
\end{align*}
実際，
\begin{align*}
xx^{-1}
&= xx \qquad(\because(4)) \\
&= x \qquad(\because(2)) \\
&= 1. \qquad(\because(3)) \\
x^{-1}x
&= xx \qquad(\because(4)) \\
&= x \qquad(\because(2)) \\
&= 1. \qquad(\because(3))
\end{align*}
したがって，
\begin{align*}
xx^{-1}=x^{-1}x=1.
\end{align*}
\bigskip
\item
任意の $x,\ y\in G$ に対して，
\begin{align*}
xy=yx.
\end{align*}
実際，
\begin{align*}
xy
&= xx \qquad(\because(1)) \\
&= x. \qquad(\because(2)) \\
yx
&= xx \qquad(\because(1)) \\
&= x. \qquad(\because(2))
\end{align*}
したがって，
\begin{align*}
xy=yx.
\end{align*}
\bigskip
\end{itemize}
\end{document}