今日も，ありがとうございます．
以前，
「線型空間は群をなす」
「実数全体の集合Ｒは群をなす」
ことに触れました． → こちらへ
今後，線型空間や実数を扱っていく機会は多いと思います．
その際，群ゆえに成り立つ性質を，線型空間でも示し，実数でも示し，となると二度手間になってしまいます．
そこで，線型空間，実数は置いておいて，まず，群ゆえに成り立つ性質をさらっておきたいと思います．
ここでさらった性質は，線型空間でも実数でも成り立つことになります．
今回は，「群の公理」を紹介します．
（【参考】「二項演算」の定義は， こちら）
「線型空間は群をなす」
「実数全体の集合Ｒは群をなす」
ことに触れました． → こちらへ
今後，線型空間や実数を扱っていく機会は多いと思います．
その際，群ゆえに成り立つ性質を，線型空間でも示し，実数でも示し，となると二度手間になってしまいます．
そこで，線型空間，実数は置いておいて，まず，群ゆえに成り立つ性質をさらっておきたいと思います．
ここでさらった性質は，線型空間でも実数でも成り立つことになります．
今回は，「群の公理」を紹介します．
（【参考】「二項演算」の定義は， こちら）
今回は，松坂和夫『代数系入門』（岩波書店） p.045 を参考にしました．
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次回は，乗法群に関する極めて簡単な問題を出題します．
今日も，ありがとうございました．
【TeX source text】以下は読まなくても結構です．
\documentclass[a4paper,12pt]{jsarticle}
\pagestyle{empty}
%%%%%% TEXT START %%%%%%
\begin{document}
\noindent
\textgt{【群の公理】}
$G$ を空でない集合，$*$ を $G$ の二項演算とする．
次の \textbf{G1}，\textbf{G2}，\textbf{G3} が成り立つとき，
$(G,*)$ を \textgt{群}（group）とよぶ．
\begin{itemize}
\item[\textbf{G1}]
$*$ に関する \textgt{結合法則} が成り立つ．
\medskip
すなわち，任意の $a,b,c\in G$ に対して，
\[
(a*b)*c=a*(b*c).
\]
\item[\textbf{G2}]
\textgt{単位元} $e\in G$ が存在する．
\medskip
すなわち，次をみたす $e\in G$ が存在する：
\begin{quote}
任意の $a\in G$ に対して，
\[
e*a=a*e=a.
\]
\end{quote}
\item[\textbf{G3}]
任意の $a\in G$ に対して，その \textgt{逆元} $a^{-1}\in G$ が存在する．
\medskip
すなわち，任意の $a\in G$ に対して，次をみたす $a^{-1}\in G$ が存在する：
\[
a^{-1}*a=a*a^{-1}=e.
\]
\end{itemize}
\bigskip
\noindent
\textgt{【注意】}
\begin{itemize}
\item
通常は，特に必要がない限り，群 $(G,*)$ を単に $G$ と略記する．
\item
$a,b\in G$ に対して $a*b$ を $ab$ を書く場合，群 $G$ は \textgt{乗法群} とよばれる．
今後の一般論においては，記法を簡単にするため，乗法群を取り扱うことにする．
\end{itemize}
\end{document}