皆様おはようございます。
ルナパレス事務局のクララ・アンダーパレスです。
昨日6/3(土)19:00開講の補習講座、
提出レポート内の問題正解者の発表です。
まずは問題のおさらいと答え合わせから。
問題
「3個のダイスを同時に振った時、全て違う目が出る確率は？」
例えばそれぞれの出目が
1.2.3はOK
1.5.6もOK
2.3.2はNG
5.5.4もNG
解答
5/9
以下、臨時講師ブレーズ・P教授からの解説です。
『（本補習を受けている前提での解説をいたします。）
さぁ今回は少し簡単な解き方をご紹介しましょう。
まず、2つのダイスを同時に振った時に起こりうる組み合わせの最大値は6×6で36。つまり36通り。
3つのダイスを同時に振った時に起こりうる組み合わせの最大値は6×6×6で216通り。
さぁ、この216の中で該当する物を探し出す…
これは大変な作業ですね。
ここで考え方を変えてみましょう！
「全て違う目が出る」それはつまり
「１つも同じ目が出ない」
という事なのです。
つまり、「同じ目が1つでも出る確率」を導き出せれば
自動的に「全て違う目が出る確率」も出るわけですね。
さぁそれでは、同じ出目が1つでも出る確率を考えてみましょう。
皆さん、ダイスが2個の樹形図はわかりますね？
A B
┏1
┣2
┣3
1 ━━╋4
┣5
┗6
A B
┏1
┣2
┣3
2━━╋4
┣5
┗6
このような形の物です。
これはそれぞれ、左のダイスをA、右ダイスをBとし
Aが1の時の組み合わせ、Aが2の時の組み合わせ
などを表しています。
今回は 3個のダイスを使用するので、新たにCのダイスを追加しましょう。
これを更に右側につけて6通りずつ増やすのは骨です。
ですので、１つの仮定をしてみましょう。
Cのダイス、6面とも1であり、1しか出目が出ないという仮定です。
するとこういう樹形図が作れます。
C A B
┏1
┣2
┣3
1━━1━━╋4
┣5
┗6
C A B
┏1
┣2
┣3
1━━2━━╋4
┣5
┗6
Cは1しか出ないので、考えやすいように1番左に配置しましょう。
今回は、「１つでも同じ目があるパターン」を考えています。
Aのダイスが1の場合、Cが1ですから、Bのダイスで何が出ようと、全て該当します。
つまり、該当は「6パターン」
C A B
┏1◯
┣2◯
┣3◯
1━━1━━╋4◯
┣5◯
┗6◯
では、Aのダイスが2の場合、Cが1ですからこの時点ではまだ同じ目はありません。
しかし、既に1と2をA.Cのダイスで使用しているので
Bが1or2であれば、同じ目が1つ出来ます。
つまり該当パターンは2パターンです。
C A B
┏1◯
┣2◯
┣3
1━━2━━╋4
┣5
┗6
では次にAが3の時………
もう分かる方もいるかもしれません。そう、2パターンです。
C A B
┏1◯
┣2
┣3◯
1━━3━━╋4
┣5
┗6
AとCで1と3が出ているので、同じ目を出すには、Bは1か3を出す必要がある。つまり2パターンという事ですね。
冷静に考えてみましょう。
後も全て同じです。
Aが4の時は1か4
Aが5の時は1か5
Aが6の時は1か6
と、それぞれ2パターンずつになります。
つまりこの場合の該当パターンは
Aが1の時の6パターン
+
Aが2〜6の時の2×5=10パターン
合計16パターンになります。
起こりうる最大値は、Cが1しか出ないため
2個のダイスの時と変わらず、6パターン×6種類の36通り。
つまり、16/36
約分をして4/9となる訳です。
つまり1から4/9を引いた値
9/9 - 4/9 = 5/9
これが「全て違う目になる確率」という訳です。
ここで
「いや、ちょっと待てよ？Cが1しか出ないって仮定してるけど、Cが1になるとは限らんやろ！」
と思った人がいると思います。
では、Cが2だと仮定し、樹形図を作ってみましょう
Aが1の場合、先ほどとは違い、該当パターンは2と1の2パターンになります。
C A B
┏1◯
┣2◯
┣3
2━━1━━╋4
┣5
┗6
ではAが2の場合
Cも2なので、Bは何が出ようが同じ目が既に出ているため、該当パターンは6パターンになります。
C A B
┏1◯
┣2◯
┣3◯
2━━2━━╋4◯
┣5◯
┗6◯
ではAが3の場合…
気づきましたか？
そう。Bのダイスが2と3の時の2パターンが該当する事になります。
C A B
┏1
┣2◯
┣3◯
2━━3━━╋4
┣5
┗6
同じように
Aが4の時は1か4
Aが5の時は1か5
Aが6の時は1か6
と、それぞれ2パターンずつになります。
全てのパターンを足してみましょう。
……おや？
2パターンが5種類で10。
6パターンが１つで6。
合わせて16。
16/36=4/9になりましたね。
そう実は、Cのダイスが1だろうが2だろうが4だろうが5だろうが
何が出たとしても
「同じ目が１つでも出る確率」は変わらず
4/9なんです！
つまり4/9の確率がCの出目の分だけ6種類ありますから
4×6/9×6 = 24/54
になりますが
結局約分して4/9になるのです。
つまり、同じ確率の組み合わせが何通り存在しても
確率は変わらず。という事ですね。
もっとわかりやすく言うなら
該当パターンは4
分母は9
と全く同じ組み合わせと言うのが6種類
ですから
分母は9通りが6種類で54通り
該当パターンは4パターンが6種類で24パターン
つまり 24/54=約分して4/9
となる訳ですね。
これが
「１つでも同じ出目が出る確率」ですから
1から4/9を引けば
「全て違う目が出る確率」が出る訳です。
1-4/9=9/9-4/9= 5/9
と言うわけで、5/9が今回の答え！と言うわけですね。
正直今回の問題は余事象を使わなくても簡単に解けますり
むしろ余事象を使わない方が楽って人も多いと思います。
何故なら
上記と同じ樹形図で
「同じ出目が出ない」に該当するパターンはA.Cの目以外の4通りが5種類で20
つまり20/36=5/9
という計算式になるので。
ただ、少しややこしいかな？と思ったりした時は、余事象を使って考えてみるのも手。
こういう解き方もあるんだよ！
「余事象に触れてもらいたい。」
という解説でした。』
以上です。皆様いかがでしたか？
それでは引き続きシグナルブルーを目指されますよう。
また、月蝕校舎でお会いいたしましょう。
◆レポート内問題正解者（順不同）◆
詩音
Ryo
まどか
いけさん
山口航
ゆい
いつき
ゼミ生
ツクモ
ペピ
りょーこ
あまね
kidd
有栖川由貴
単弓丸
他1名