使われ方によって同格のthat節を取れたり取れなかったりする名詞の実例です。
1. chance：
「可能性」という意味の場合はOKだが「機会、チャンス」ではNGです。
「可能性」の例
・There is a good chance that Tom will help me.
トムが私を助けてくれる可能性は十分にある。
・There is always a chance that something could go wrong.
何かが悪い方向に進む可能性は常にある。
・Is there any chance that she is pregnant?
彼女が妊娠している可能性はあるでしょうか？
「機会、チャンス」の例
×I missed a chance that I would get to know a famous movie director.
私は有名な映画監督と知り合う機会を逃した。
※この場合はto不定詞を使えばOKになります。
○ I missed a chance to get to know a famous movie director.
2. story:
『現代英語・語法ノート』に紹介されていた例です。「うわさ」ならOKだが文字通り『ウサギとカメ』のような「お話，物語」の場合はNG。OKの例だけ紹介します。(英和活用大辞典より)
・The story that he was arrested for attacking a policeman is not true.
彼が警官を襲って逮捕されたという話は事実ではない。
人から聞いた話、つまり「うわさ」のような意味で使われているのでOKらしいです。
...他にもconditionは「条件」ならOK,「状態」だとNGなど、まだまだ色々とありそうな気がします。
ここで考えたいのは、
同格のthat節が取れる名詞と意味的に同じカテゴリーに入る場合には、同格のthatを取れるのではないか？
ということです。.
..上の例の場合だと、例えば「可能性」という意味のchanceの場合、意味的に似ているpossibility，probability, likelihoodなどが同格のthat節を取れるので同様にOKだ、と考えることができるわけです。（ついでですが、私は名詞のrisk「危険性」に同格that節が続く実例を初めて見た時に、やや違和感を覚えました。しかし、riskは「望ましくない事態が生じる可能性」という意味ですから、この「可能性グループ」に入ると考えれば、不合理は感じません。）
また、storyの場合も、「うわさ」と訳されるrumor,gossipはOKなので、似たような意味で使われるstoryはOKである、と考えられなくはないでしょうか？
･･･以上述べたように、同格thatが取れるか否かについては、やはり意味も大事な要素なわけです。次回、ここまでの話をまとめます。