学生の頃の話し～、
とある合コンで、
無人島でしばらく暮らさなければならなくなりました…
１つだけ、
何か持って行って良いとしたら、
何を持って行きますか？
てな話題になり、
｢自分の愛犬｣
とか
｢自分の日記帳｣
てな
可愛らしい女性の意見もあれば、
｢愛用のサバイバルナイフ｣
とか
｢愛用のハム(無線機)｣
てなマニア男性の意見もあり、
｢電話の子機｣
なんてアンポンタンな子の意見もありました。
(注:携帯電話のない時代の話です)
そんな中、
我輩は
素で
｢海水を真水に変える機械｣と回答して
場の空気を４℃ほど下げました…。
あ、どうも、
若い頃はＫＹでした…、
レフティーです。
もし今、
合コンに誘われて、
同じ質問をされたら、
｢使い捨てワンデーアキュビューを一生分｣と答えますね…
え？
一生分は一個じゃないからダメ？
うーむ…。
……………………ｹﾁ！
それはさておき、
今回は
皆さんの多大なる期待を受けて、
『積分』
に、ついてです。
あ、期待してない方は、
この先を読まないで下さい。
予習をしてない方も、読み進むことを控えて下さい。
さて、
皆さんは、どんなところで『積分』を使いますか？
どんなところで見かけますか？
えっ!?ワタクシ!?
そうですねぇ～…
｢あ、ちょっと、ちょっと、お嬢さん、今１人？この後の予定ある？もし良かったら僕と『積分』でも摘まんで行かない？｣
てなナンパの時かなぁ～…
えっ!?使わない!?
……………………
じゃあ、
何かのスポーツ大会で
｢我々参加選手一同は！『積分』精神にのっとり！正々堂々と闘うことを誓います！｣
てな宣誓文に使うとか…
えっ!?入れないって!?
………………………
じゃあ、じゃあ～
｢総理！そうり～！今回の不適切な献金について何か答えて下さい！｣
｢あ～、検察からの訴状が届いてませんので、何とも答えられませんが…とりあえず『積分』な状況としか言えません。｣
てな国会答弁で使われるとか、
えっ!?国会議員が『積分』なんて知ってるわけないって!?
ま、そりゃそうだ。
……………………
『積分』って、
気付かないうちに
恩恵を受けているんじゃないかな？
イメージで言うと、
『コロンブスの卵』だと思う…。
えっ？
ころんぶすのたまごって何って!?
あ～
ゆとり教育世代はアカンなぁ～。
昔むかし、とある宴の席で、コロンブスが言いました
｢皆さん、この茹で卵を縦に立てることは出来ますかな？｣
しかし、同席の者は誰も出来ない。
皆が降参すると、
｢はっはっは、こうするのじゃよ。｣
と、卵の底の部分をちょっと潰して立てたそうな…
まあ、この経緯は、後世の創作らしいが…
今では常識とも言える他愛もないことだが、初めは誰もが気付かないもので、最初に気付いた者はスゴい！
てな、意味の例えですな。
でもさ、
この立てる方法、
なんかインチキくさくない？
まあ、アメリカ大陸を発見して、
｢インドに着いた！｣とおおはしゃぎして、
原住民をインディアンと名付けてしまったオッチャンやしなぁ～。
だから
『ニュートンの積分』こそ、
この例えにあてはまる言葉やないかなぁ～。
『積分』の語源は
｢あるものを、１度分けて積み重ね直して、測る。｣
だそうだ。
簡単な一例をあげよう。
半径rの円の面積はどう求める？
公式は→r×r×π(3.14…)だよね？
じゃあ、何故この公式が成り立つの？
積分に戻り考えてみよう。
円をケーキを切るように、中心を通って等分に分けてみよう、
半分、
４分の１
８分の１
１６分の１
…と、
そして切り分けた扇形のピースを交互に並べ替えてみよう
すると、
上辺と下辺は凸凹してるが、ほぼ平行四辺形をなしている。
１６分の１では凸凹が出来てしまう…
これを、
３２分の１、
６４分の１と、
さらに細分化していけば凸凹は無くなっていき、
長方形に限りなく近くなる。
そして、この面積は
下辺×高さ
で表せるから、
下辺(円周の半分)×高さ(円の半径)
つまり、
２r×π÷２×r
これを計算すると
r×r×π
になるから公式どうりだね。
さて、
ニュートンは、どんな"最初の発見"をしたのか？
次の３つの面積の求め方を見よう！
まず、
x軸とy軸とy＝１とxの四方で囲まれた面積は、
１×x…つまりＳ(x)＝x
次に、
y＝２xとx軸とxで囲まれた三角形の面積は、
x×２x÷２…つまりＳ(x)＝xの２乗
次に、
y＝３xの２乗とx軸とxで囲まれた部分の面積は、
計算方法は省略するが
Ｓ(x)＝xの３乗
となる。
整理すると、
[関数]y＝１→[面積]Ｓ(x)＝x
[関数]y＝２x→[面積]Ｓ(x)＝xの２乗
[関数]y＝３xの２乗→[面積]Ｓ(x)＝xの３乗
矢印の右側を微分した導関数が
矢印の左側の関数になっているわけだ。
そう、
関数を逆微分すれば面積が導き出されるのだ。
逆微分＝積分
微分と積分は表裏一体の関係にある…
これが、ニュートンの発見だ。
これはスゴい大発見なのだ！！
それまでの原始的な『積分』では、文字通り図形を細かく分けて積み重ねるという作業を行っていたので、計算に非常に時間がかかっていたが、逆微分をすれば積分したことになるので、計算が早く行えるようになったのだ。
ニュートンのオッチャンは、りんごが木から落ちるのを見て
｢それでも地球は回ってる…｣
と、ボヤいただけではないですなぁ～。
(※表記に一部錯誤があります)
『積分』では、回転体の体積を測るのに便利である。
回転体とは、関数f(x)をx軸でぐるっと回転させて作った形のことです。
関数f(x):y＝axの回転体の体積を考えてみよう。
この立体は(x=0,y=0)を頂点(とんがった先の部分)とするトンガリコーンみたいな形、いわゆる円錐形です。
aの値が１以下の場合は小さいほど尖った円錐形になり、１以上の場合は平べったい円錐形になるが、今回はaの数値は計算から省きます。
計算の前に、
図形の考え方について書いておこう。
"線"って何？
"線"とは、点から点を結ぶもので、幅は限りなく０に近い。
でも０ではない、０では"線"自体が存在しなくなるからだ。
この"線"を沢山並べたものが"面"と言える。
じゃあ、"面"って何？
"面"とは、面積を表す縦横のある形のことで、厚さは限りなく０に近い。
でも０ではない、０だとこの"面"自体が存在しなくなるからだ。
そして、この"面"を沢山積み重ねたものが"立体"と言える。
さて、
このトンガリコーン(円錐形)を横にした立体にて、x軸を垂直に通るところで｢ばすっ！｣と切ると、断面は円形になる。
つまり、トンガリコーン(円錐形)は、先っぽの所をスタートとして、x軸を右に行く(xが増える)にしたがって、ちょっとづつ大きくなっていく"円"を積み重ねたものと言える。
この体積Ｖを微分するということは、体積の瞬間的増加量…つまり"面"の量となる。
つーことはだ、"面"を逆微分すなわち積分すれば体積Ｖが求められるわけだ。
x軸上の点Ｈを通るとこに底面Ｓがある円錐形の体積Ｖについて考えてみよう。
x＝０からＨまでの間の点Ｘを通るところの面をＳ(x)とする。
Ｓ(x)は体積Ｖの瞬間的増加量なわけだ。
Ｓ(x)が底面で高さxの円錐形Ｖ'と、Ｓが底面で高さhの円錐形との関係は当然に
Ｖ'＜Ｖ
で、尚且つ相似形でもある。
相似の図形と、三平方の定理から、
それぞれの底面積の比率と、それぞれの高さの２乗の比率は等しいので
Ｓ(x)/Ｓ＝(x/h)の２乗
と表せる。
つまり、Ｓ(x)＝Ｓ/hの２乗×xの２乗
よし！
Ｓ(x)をxの関数で表せたので、積分してみよう！
Ｖ＝インテグラル(0からhまで)Ｓ(x)dx
＝インテグラル(同上)Ｓ/hの２乗×xの２乗dx
＝Ｓ/hの２乗[１/３×xの３乗](0からhまで)
で、xの値がhのときから0のときぶんを引くわけだが0のときは０なので、
Ｖ＝Ｓ/hの２乗×１/３×hの３乗
＝１/３×Ｓ×h
この式どこかで見たことない？
低面×高さ÷３
そう、学校で習った円錐形の体積を求める公式だね。
学校では｢公式だから｣と覚えさせられたが、何故そうなるのかは習わなかった、
実は『積分』によって導き出されたわけだ、
ほら、知らずに『積分』の恩恵を受けていたでしょ？
『積分』のお陰で皆さんも手軽にトンガリコーンの体積を知ることが出来るわけだ。
世界一周中に、部下の反乱で世を去ったコロンブスもびっくりやろね。
(※表記に一部錯誤があります)
え？
こんな小難しいこと考えてて楽しいのかって？
楽しいよ～。
高校生の頃、授業で基礎解析や代数幾何をやってるときは数学がスンゴク嫌いだった…
だって、テストで引っかけ問題ばかり出るんだもの、
例えば、
計算中に[173/4×xの２乗＋67/2x…]なんて中途半端な数字が出て来て…
あれっ？間違えた？
と、思うわな？
で、もう１回始めからやり直す、
でも同じ…、
はて？
と、悩んでる途中で、
時間終了。
ところがさ、
このワタクシの計算は合ってたんだわ。
出題した数学教師が、生徒に簡単に答えられなくするために、ややこしい数値が出るようにしたらしい…
途中式の部分点を貰えるので０点は免れたが、
ゲッソリやわ…。
盗撮やセクハラで捕まる教師も問題だが、
引っかけ問題で間違える生徒が出るのを喜ぶ数字教師も問題ちゃう？
そんなわけで、現在の勉強としてではない、趣味の数学はすこぶる楽しいよ。
引っかけ問題なんて無いからね。
そして、数学って…
この手で掴むことの出来ないほど大きく、
一生かかっても見ることの出来ない年月の長さで存在する、
『宇宙』
を測り知ろうとするんだから、
壮大すぎて
ストレス解消にもってこいだ。
石神哲哉のような数学者は数学で疲れて、恋により自殺を免れるわけだが、
我々凡人は、恋の疲れを数学で癒すわけだ…。
まあ、予習してきた皆さんには、こんな『積分』なんか楽勝だったでしょ？
とりあえず宿題として、
｢半径rの球体の体積の求め方を積分で導き出して下さい。｣
よしっ、こんだけややこしいこと書いとけばアクセス数は減るだろう…
ほな、アディオス！
♪ぐ～ぜん街でスレ違っても～気付かぁずにぃお互いの道を目指してる～♪
とある合コンで、
無人島でしばらく暮らさなければならなくなりました…
１つだけ、
何か持って行って良いとしたら、
何を持って行きますか？
てな話題になり、
｢自分の愛犬｣
とか
｢自分の日記帳｣
てな
可愛らしい女性の意見もあれば、
｢愛用のサバイバルナイフ｣
とか
｢愛用のハム(無線機)｣
てなマニア男性の意見もあり、
｢電話の子機｣
なんてアンポンタンな子の意見もありました。
(注:携帯電話のない時代の話です)
そんな中、
我輩は
素で
｢海水を真水に変える機械｣と回答して
場の空気を４℃ほど下げました…。
あ、どうも、
若い頃はＫＹでした…、
レフティーです。
もし今、
合コンに誘われて、
同じ質問をされたら、
｢使い捨てワンデーアキュビューを一生分｣と答えますね…
え？
一生分は一個じゃないからダメ？
うーむ…。
……………………ｹﾁ！
それはさておき、
今回は
皆さんの多大なる期待を受けて、
『積分』
に、ついてです。
あ、期待してない方は、
この先を読まないで下さい。
予習をしてない方も、読み進むことを控えて下さい。
さて、
皆さんは、どんなところで『積分』を使いますか？
どんなところで見かけますか？
えっ!?ワタクシ!?
そうですねぇ～…
｢あ、ちょっと、ちょっと、お嬢さん、今１人？この後の予定ある？もし良かったら僕と『積分』でも摘まんで行かない？｣
てなナンパの時かなぁ～…
えっ!?使わない!?
……………………
じゃあ、
何かのスポーツ大会で
｢我々参加選手一同は！『積分』精神にのっとり！正々堂々と闘うことを誓います！｣
てな宣誓文に使うとか…
えっ!?入れないって!?
………………………
じゃあ、じゃあ～
｢総理！そうり～！今回の不適切な献金について何か答えて下さい！｣
｢あ～、検察からの訴状が届いてませんので、何とも答えられませんが…とりあえず『積分』な状況としか言えません。｣
てな国会答弁で使われるとか、
えっ!?国会議員が『積分』なんて知ってるわけないって!?
ま、そりゃそうだ。
……………………
『積分』って、
気付かないうちに
恩恵を受けているんじゃないかな？
イメージで言うと、
『コロンブスの卵』だと思う…。
えっ？
ころんぶすのたまごって何って!?
あ～
ゆとり教育世代はアカンなぁ～。
昔むかし、とある宴の席で、コロンブスが言いました
｢皆さん、この茹で卵を縦に立てることは出来ますかな？｣
しかし、同席の者は誰も出来ない。
皆が降参すると、
｢はっはっは、こうするのじゃよ。｣
と、卵の底の部分をちょっと潰して立てたそうな…
まあ、この経緯は、後世の創作らしいが…
今では常識とも言える他愛もないことだが、初めは誰もが気付かないもので、最初に気付いた者はスゴい！
てな、意味の例えですな。
でもさ、
この立てる方法、
なんかインチキくさくない？
まあ、アメリカ大陸を発見して、
｢インドに着いた！｣とおおはしゃぎして、
原住民をインディアンと名付けてしまったオッチャンやしなぁ～。
だから
『ニュートンの積分』こそ、
この例えにあてはまる言葉やないかなぁ～。
『積分』の語源は
｢あるものを、１度分けて積み重ね直して、測る。｣
だそうだ。
簡単な一例をあげよう。
半径rの円の面積はどう求める？
公式は→r×r×π(3.14…)だよね？
じゃあ、何故この公式が成り立つの？
積分に戻り考えてみよう。
円をケーキを切るように、中心を通って等分に分けてみよう、
半分、
４分の１
８分の１
１６分の１
…と、
そして切り分けた扇形のピースを交互に並べ替えてみよう
すると、
上辺と下辺は凸凹してるが、ほぼ平行四辺形をなしている。
１６分の１では凸凹が出来てしまう…
これを、
３２分の１、
６４分の１と、
さらに細分化していけば凸凹は無くなっていき、
長方形に限りなく近くなる。
そして、この面積は
下辺×高さ
で表せるから、
下辺(円周の半分)×高さ(円の半径)
つまり、
２r×π÷２×r
これを計算すると
r×r×π
になるから公式どうりだね。
さて、
ニュートンは、どんな"最初の発見"をしたのか？
次の３つの面積の求め方を見よう！
まず、
x軸とy軸とy＝１とxの四方で囲まれた面積は、
１×x…つまりＳ(x)＝x
次に、
y＝２xとx軸とxで囲まれた三角形の面積は、
x×２x÷２…つまりＳ(x)＝xの２乗
次に、
y＝３xの２乗とx軸とxで囲まれた部分の面積は、
計算方法は省略するが
Ｓ(x)＝xの３乗
となる。
整理すると、
[関数]y＝１→[面積]Ｓ(x)＝x
[関数]y＝２x→[面積]Ｓ(x)＝xの２乗
[関数]y＝３xの２乗→[面積]Ｓ(x)＝xの３乗
矢印の右側を微分した導関数が
矢印の左側の関数になっているわけだ。
そう、
関数を逆微分すれば面積が導き出されるのだ。
逆微分＝積分
微分と積分は表裏一体の関係にある…
これが、ニュートンの発見だ。
これはスゴい大発見なのだ！！
それまでの原始的な『積分』では、文字通り図形を細かく分けて積み重ねるという作業を行っていたので、計算に非常に時間がかかっていたが、逆微分をすれば積分したことになるので、計算が早く行えるようになったのだ。
ニュートンのオッチャンは、りんごが木から落ちるのを見て
｢それでも地球は回ってる…｣
と、ボヤいただけではないですなぁ～。
(※表記に一部錯誤があります)
『積分』では、回転体の体積を測るのに便利である。
回転体とは、関数f(x)をx軸でぐるっと回転させて作った形のことです。
関数f(x):y＝axの回転体の体積を考えてみよう。
この立体は(x=0,y=0)を頂点(とんがった先の部分)とするトンガリコーンみたいな形、いわゆる円錐形です。
aの値が１以下の場合は小さいほど尖った円錐形になり、１以上の場合は平べったい円錐形になるが、今回はaの数値は計算から省きます。
計算の前に、
図形の考え方について書いておこう。
"線"って何？
"線"とは、点から点を結ぶもので、幅は限りなく０に近い。
でも０ではない、０では"線"自体が存在しなくなるからだ。
この"線"を沢山並べたものが"面"と言える。
じゃあ、"面"って何？
"面"とは、面積を表す縦横のある形のことで、厚さは限りなく０に近い。
でも０ではない、０だとこの"面"自体が存在しなくなるからだ。
そして、この"面"を沢山積み重ねたものが"立体"と言える。
さて、
このトンガリコーン(円錐形)を横にした立体にて、x軸を垂直に通るところで｢ばすっ！｣と切ると、断面は円形になる。
つまり、トンガリコーン(円錐形)は、先っぽの所をスタートとして、x軸を右に行く(xが増える)にしたがって、ちょっとづつ大きくなっていく"円"を積み重ねたものと言える。
この体積Ｖを微分するということは、体積の瞬間的増加量…つまり"面"の量となる。
つーことはだ、"面"を逆微分すなわち積分すれば体積Ｖが求められるわけだ。
x軸上の点Ｈを通るとこに底面Ｓがある円錐形の体積Ｖについて考えてみよう。
x＝０からＨまでの間の点Ｘを通るところの面をＳ(x)とする。
Ｓ(x)は体積Ｖの瞬間的増加量なわけだ。
Ｓ(x)が底面で高さxの円錐形Ｖ'と、Ｓが底面で高さhの円錐形との関係は当然に
Ｖ'＜Ｖ
で、尚且つ相似形でもある。
相似の図形と、三平方の定理から、
それぞれの底面積の比率と、それぞれの高さの２乗の比率は等しいので
Ｓ(x)/Ｓ＝(x/h)の２乗
と表せる。
つまり、Ｓ(x)＝Ｓ/hの２乗×xの２乗
よし！
Ｓ(x)をxの関数で表せたので、積分してみよう！
Ｖ＝インテグラル(0からhまで)Ｓ(x)dx
＝インテグラル(同上)Ｓ/hの２乗×xの２乗dx
＝Ｓ/hの２乗[１/３×xの３乗](0からhまで)
で、xの値がhのときから0のときぶんを引くわけだが0のときは０なので、
Ｖ＝Ｓ/hの２乗×１/３×hの３乗
＝１/３×Ｓ×h
この式どこかで見たことない？
低面×高さ÷３
そう、学校で習った円錐形の体積を求める公式だね。
学校では｢公式だから｣と覚えさせられたが、何故そうなるのかは習わなかった、
実は『積分』によって導き出されたわけだ、
ほら、知らずに『積分』の恩恵を受けていたでしょ？
『積分』のお陰で皆さんも手軽にトンガリコーンの体積を知ることが出来るわけだ。
世界一周中に、部下の反乱で世を去ったコロンブスもびっくりやろね。
(※表記に一部錯誤があります)
え？
こんな小難しいこと考えてて楽しいのかって？
楽しいよ～。
高校生の頃、授業で基礎解析や代数幾何をやってるときは数学がスンゴク嫌いだった…
だって、テストで引っかけ問題ばかり出るんだもの、
例えば、
計算中に[173/4×xの２乗＋67/2x…]なんて中途半端な数字が出て来て…
あれっ？間違えた？
と、思うわな？
で、もう１回始めからやり直す、
でも同じ…、
はて？
と、悩んでる途中で、
時間終了。
ところがさ、
このワタクシの計算は合ってたんだわ。
出題した数学教師が、生徒に簡単に答えられなくするために、ややこしい数値が出るようにしたらしい…
途中式の部分点を貰えるので０点は免れたが、
ゲッソリやわ…。
盗撮やセクハラで捕まる教師も問題だが、
引っかけ問題で間違える生徒が出るのを喜ぶ数字教師も問題ちゃう？
そんなわけで、現在の勉強としてではない、趣味の数学はすこぶる楽しいよ。
引っかけ問題なんて無いからね。
そして、数学って…
この手で掴むことの出来ないほど大きく、
一生かかっても見ることの出来ない年月の長さで存在する、
『宇宙』
を測り知ろうとするんだから、
壮大すぎて
ストレス解消にもってこいだ。
石神哲哉のような数学者は数学で疲れて、恋により自殺を免れるわけだが、
我々凡人は、恋の疲れを数学で癒すわけだ…。
まあ、予習してきた皆さんには、こんな『積分』なんか楽勝だったでしょ？
とりあえず宿題として、
｢半径rの球体の体積の求め方を積分で導き出して下さい。｣
よしっ、こんだけややこしいこと書いとけばアクセス数は減るだろう…
ほな、アディオス！
♪ぐ～ぜん街でスレ違っても～気付かぁずにぃお互いの道を目指してる～♪