まず自分の解釈として、

文字としてJSONデータを見るときは、JSON.stringify

オブジェクトとしてみるときは、JSON.parse



実践編

①localstrageに格納するときは?

→これは、JSON.stringifyにしてlocalstorageに格納して、取り出すときは、JSON.parseして
 使います

②ajaxのgetで送る場合は?

→正しいかわかりませんが、オブジェクトのまま渡しても、ちゃんと文字列にしているっぽく
 とくに、JSON.stringifyせずとも送ることができます。
 取り出すときは(nodeのサーバ処理を例にします)、
 JSON.parse(JSON.stringify(req.query))←こんなかんじでとれます。
 以降、JSONオブジェクトとして、扱うことができます。