追記2018.3.20あり
私が知る限り、子供用の交通系ICカードでオートチャージ機能がつけられるのが、
親の東急カード。
カードの年会費のほか、サービス年会費1200円＋税/年がかかるのですがね。
手続きの流れはこんな感じです。
1/25東急カード申込み、
2/14審査完了のメール、
2/19受け取り、
すぐジュニアオートチャージの書類を請求して即返送、
3/1付文書で東急カード側の手続きは終了（3/6に文書受け取り）、
この後はパスモ（株）側の手続きに入るとのこと。
手続き完了のはがきが来るまで約4週間とのことなので,
4月の入学式まで間に合うかどうかというところ。
はがきを持って、駅に行って手続きすれば完了だそうです。
追記
2018.3.19 手続き完了のはがきがきました。
「PASMOオートチャージサービス申し込みに関するお知らせ」ですね。
手続き完了とは、はがきの紙をはがすと内側に書かれています。
申し込みから3週間弱で届いたことになります。
新年度には間に合いますね。この後駅に行って設定です。