３６ページ目から、「√２の値に迫る」というものが始まっています。
以下はまったく本のとおりなのですが、おもしろいので自分でやってみたものです。
まず、おもしろいと思ったのは、「関係式を道具として使う」という発想です。
関係式そのものに重大な意味や必然性があるわけではなくて、「こういう式を使えば真実に迫ることができるかもしれないな？」という、実験的な発想の積み重ねで真実にたどりつく過程がおもしろいと思いました。
２ ２
ｘ － ２ ｙ ＝ １ という関係式を使います。
この関係式を変形すると、
２
ｘ １
―― － ２ ＝ ――
２ ２
ｙ ｙ
となりますから、ｙがとても大きければ右辺は０となり、
２
ｘ
―― － ２ ＝ ０
２
ｙ
つまり、
ｘ
―― ＝ ２
ｙ
となるはずです。
３６ページ目に、線分演算というものが紹介されています。
上の図で、αとβは、
２ ２
２次方程式 ｘ － ａｘ ＋ ｂ ＝ ０ の２根である。
これが分からなかったので、自分なりに考えてみました。
（「２根である」とは、方程式の答えであるという意味です。
２次方程式には答えが２つあり、それを２根というようです。）
最終的に、
（ｘ － α）（ｘ － β） ＝ ０
となればオッケーです。これで ｘ ＝ α または ｘ ＝ β になるからです。
まず、上の図より、
α ＋ β ＝ ａ … ①
つぎに、三角形の面積を求めます。
辺ＢＣを底と考えると、
１
三角形の面積 ＝ ―― ａ ｂ
２
辺ＡＣを底と考えると（角Ａは直角です。）、
直角三角形に関するピタゴラスの定理より、
２ ２
辺ＡＣ ＝ β ＋ ｂ
２ ２
辺ＡＢ ＝ α ＋ ｂ
したがって、
１ ２ ２ ２ ２
三角形の面積 ＝ ―― ・ β ＋ ｂ ・ α ＋ ｂ
２
したがって、
１ １ ２ ２ ２ ２
―― ａ ｂ ＝ ―― ・ β ＋ ｂ ・ α ＋ ｂ
２ ２
両辺を２倍した後に２乗すると、
２ ２ ２ ２ ２ ２
ａ ｂ ＝ （β ＋ ｂ ）・（α ＋ ｂ ）
２ ２ ２ ２ ２ ４
＝ α β ＋ （α ＋ β ）ｂ ＋ ｂ
①より、ａ ＝ α ＋ β なので、これを左辺に代入します。
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ４
（α ＋ ２αβ ＋ β ） ｂ ＝ α β ＋ （α ＋ β ）ｂ ＋ ｂ
２ ２ ２ ４
２αβｂ ＝ α β ＋ ｂ
４ ２ ２ ２
ｂ － ２αβｂ ＋ α β ＝ ０
２ ２
（ｂ － αβ） ＝ ０
２
ｂ ＝ αβ … ②
①②より、
２ ２
ｘ － ａｘ ＋ ｂ ＝ ０ という方程式は、
２
ｘ － （α ＋ β）ｘ ＋ αβ ＝ ０ … ③
となります。
③を解いて、
（ｘ － α）（ｘ － β） ＝ ０
つまり、
ｘ ＝ α または ｘ ＝ β
となります。
証明終わり。
これからしばらく、「数学が歩いてきた道」という本で数学を勉強します。
志賀浩二先生という方が出しておられる本で、ＰＨＰサイエンスワールド新書というところから出ています。
どうして数学を勉強するのかというと、フェルマーの定理の証明について知りたいと思ったからです。
さっそく、２５ページ目からの「円周率πの値に迫る」でつまづきました。
ライプニッツの級数
π １ １ １ １
―― ＝ １ － ―― ＋ ―― － ―― ＋ ―― …
４ ３ ５ ７ ９
オイラーの公式
π ３ ５ ７ １１ １３ １７
―― ＝ ―― ・ ―― ・ ―― ・ ―― ・ ―― ・ ―― …
２ ２ ６ ６ １０ １４ １８
オイラーの公式
ｉπ
ｅ ＝ －１
・・・これ、なあに？全然分かりません。
