オイラーのレンガと完全直方体について思うこと
オイラーのレンガってご存知ですか？オイラーは偉大な数学者の名前で、レンガは三匹の子豚の末っ子が家を作るときに使った材料ですね。オイラーのレンガとは、それぞれ直行する縦、横、高さが全て自然数で、3面の対角線のいずれも自然数となる直方体です。完全直方体とは、オイラーのレンガを更に超越するように、空間対角線も自然数となるオイラーのレンガである。オイラーのレンガはいくつも見つかっているが、完全直方体は未だに見つかっていない、つまり数学の未解決問題である。さて、完全直方体を探すということになるのだが、皆、オイラーという偉大な数学者の名前に引っ張られすぎているなと感じたのである。何が言いたいかというと、オイラーのレンガありきで、完全直方体を探しているのではなかろうか。一般的な人であれば、1面ずつピタゴラスの定理をやって、3面揃った、つまりオイラーのレンガを完成させて、空間対角線を確認して、というアプローチを取っているように感じたのだ。私は、そのアプローチは面倒だなと感じていた。みんな、ピタゴラスとかオイラーとかの偉大な数学者の名前に引っ張られていて、このアプローチが最短だと思っているのではなかろうか？私は権威は権威ではあるのだが、それはそれだと考えている。ピタゴラス数の一般式の求め方があるように、空間対角線の一般式があるだろう。つまり、私は空間対角線ありきで、完全立方体を探す。『a²+b²+c²=d²を満たす一般式はあるのか？』a2+b2+c2=d2 を満たす自然数a,b,c,dの組が無限に存在する。ならば、何らかの一般式が存在するのではなかろうか。ピタゴラス数を研究してきた私も、左…ameblo.jpa2＋b2＋c2＝d2が成り立つような一般式があって、a, b, cは立方体の辺の長さであり、dは空間対角線の長さである。gcd(a, b, c)＝1つまり、a, b, cは互いに素であることを踏まえて、a≦b≦c≦10における自然数dとなる解の個数は6個a≦b≦c≦100における自然数dとなる解の個数は530個a≦b≦c≦1000における自然数dとなる解の個数は51818個a≦b≦c≦10000における自然数dとなる解の個数は5170563個…といったように増えていくどこまでレンジを広げていけば、完全直方体は見つかるのだろうか？3つの辺と3つの対角線と1つの空間対角線、つまり7本すべてが自然数となるのが完全直方体ではあるが、7本中6本までが自然数となったものを準完全直方体と呼ぶことにしましょうか。私は空間対角線ありきで、完全直方体ないし準完全直方体を探す。a2＋b2＋c2＝d2e2:＝a2＋b2f2:＝b2＋c2g2:＝c2＋a2として、e2、f2、g2は、容易に求まるので、これらが平方数かどうかの判定だけである。5170563個のデータから完全直方体はないので、準完全直方体を探してみる。 a b c d e f g 104 153 672 697 185.00000 689.19736 680.00000 117 520 756 925 533.00000 917.57071 765.00000 448 495 840 1073 667.62939 975.00000 952.00000 264 495 952 1105 561.00000 1073.00000 987.92712 264 448 975 1105 520.00000 1073.00000 1010.10940 1092 1540 1881 2665 1887.87288 2431.00000 2175.00000 333 644 2040 2165 725.00000 2139.23725 2067.00000 1680 1925 2052 3277 2555.00000 2813.59716 2652.00000 1428 1771 2640 3485 2275.00000 3179.00000 3001.46364 252 2261 2640 3485 2275.00000 3475.87701 2652.00000 2275 2640 2772 4453 3485.00000 3828.00000 3586.02970 533 756 3360 3485 925.00000 3444.00000 3402.01249 840 1364 3627 3965 1601.90387 3875.00000 3723.00000 819 1680 3740 4181 1869.00000 4100.00000 3828.62390 399 468 4180 4225 615.00000 4206.11745 4199.00000 1932 2880 4301 5525 3468.00000 5176.19561 4715.00000 1680 3404 4653 6005 3796.00000 5765.20815 4947.00000 1665 4264 6048 7585 4577.54530 7400.00000 6273.00000 3927 5952 6536 9673 7130.75263 8840.00000 7625.00000 861 5852 6864 9061 5915.00000 9020.00000 6917.78989 357 1276 6960 7085 1325.00000 7076.00000 6969.14980 2352 5236 7011 9061 5740.00000 8750.41810 7395.00000 2772 5605 7800 9997 6253.00000 9605.00000 8277.92148 2548 4389 8352 9773 5075.00000 9435.00000 8732.02199 1564 1827 8736 9061 2405.00000 8925.00000 8874.89673 4032 6601 8976 11849 7735.00000 11141.89288 9840.00000 3124 4557 9840 11285 5525.00000 10843.97755 10324.00000 a≦b≦c≦100では準完全直方体の個数は0個a≦b≦c≦1000では準完全直方体の個数は5個a≦b≦c≦10000では準完全直方体の個数は27個ちょっとした暇つぶしにはなった。3つの平方数の和が平方数になる一般式の簡単な方法は存在しないとAIは言っている。私は、完全直方体の存在はロマンだと思っており、内心は存在しないと思っている。ではではa img { background-color: lightgray;}table.renbun td { border: 0px; 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