正七角形の面積比
図形問題を出題するよ。図のように正七角形ABCDEFGがあり、線分AGの中点をM、線分BGとCMの交点をPとして、三角形BCPの面積と残りの面積の比を求めよ。。シンキングタ～イムなんとも面倒くさそうな問題だ。こういったときは、座標にするのが賢明だろう。外心Oを原点として、A＝(0, 1)、つまり外接円の半径は1として考える。また、中心角は2π/7、円周角はπ/7なので、θ＝π/7として、三角関数を考える。B＝(－sin(2θ), cos(2θ))C＝(－sin(4θ), cos(4θ))G＝(sin(2θ), cos(2θ))Mは、AとGの中点より、M＝(sin(2θ)/2, (1＋cos(2θ))/2)線分CMを直線の方程式にして、y＝cos(2θ)を代入することで、x＝sin(θ)/(2cos(θ)＋2cos(2θ))となって、P＝(sin(θ)/(2cos(θ)＋2cos(2θ)), cos(2θ))ここで、OPの傾きを考えると、yの増加量÷xの増加量なので、OPの傾き＝cos(2θ)÷{sin(θ)/(2cos(θ)＋2cos(2θ))}＝2cos(2θ)(cos(θ)＋cos(2θ))/sin(θ)＝(2cos(2θ)cos(θ)＋2cos2(2θ))/sin(θ)積和の公式より、2cos(2θ)cos(θ)=cos(3θ)＋cos(θ)2cos2(2θ)＝1＋cos(4θ)分子＝cos(3θ)＋cos(θ)＋cos(4θ)＋1θ＝π/7より、cos(3θ)＝－cos(4θ)なので、OPの傾き＝(cos(θ)＋1)/sin(θ)＝cot(θ/2)＝tan(3θ)また、CBの傾きを考えると、CBの傾き＝(cos(4θ)－cos(2θ))/(sin(4θ)－sin(2θ))＝2sin(3θ)sin(θ)/(2cos(3θ)sin(θ))＝sin(3θ)/cos(3θ)＝tan(3θ)OP//CBより、等積変形が出来、三角形BCPの面積を1とすると、残りは6となり、PINK：BLUE＝6：1途中式をかなり端折ったが、時間があったら、いずれ補完するかな。ではではa img { background-color: lightgray;}table.renbun td { border: 0px; padding: 2px 2px 2px 2px; vertical-align: middle; white-space: nowrap; }table.renbun td.ul { border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 0px; }table.renbun td.ol { border-style: solid; border-width: 1px 0px 0px 0px; }table.ans td:nth-child(1) { text-align: center; }table.ans td div { width: 265px; overflow-x: scroll; }table.ans td div span { white-space: nowrap; }table.test td {white-space: nowrap;padding: 0 5px;text-align: right;} table.test .y {background-color: yellow;color: black; } .u {border-bottom-style: solid;border-bottom-width: 1px;text-align: center;}table#list td { padding: 0 2px; font-family: monospace; }.no { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle;}.ni { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle; line-height:100%;}.ns { font-family:serif; font-size:250%; line-height:100%;}.io { display:inline-block; white-space:nowrap;}.io sub { vertical-align:bottom; white-space:nowrap;}.io sup { vertical-align:top; white-space:nowrap;}.ii { display:inline-block; vertical-align:middle;}.is { vertical-align:middle; font-family:arial;// font-family: sans-serif; font-size:300%; line-height:70%; font-weight: 5;// margin: 0 -15px 0 -10px;}.ii2{ display:inline-block; line-height:100%; vertical-align:middle;}.is2{ line-height:155%;// line-height:109%; font-family:sans-serif;}.mo { display:inline-block; vertical-align:middle;}.mi { display:inline-block; white-space:nowrap; vertical-align:middle; line-height:100%;}html:not([lang]) .mp { display:inline-block; line-height:100%; font-size:120%; font-family:sans-serif; margin: 0; padding: 0;}.mp{ display:inline-block; line-height:100%; font-size:120%; font-family:serif; margin: 0; padding: 0;}.md{ display:inline-block; line-height:120%; text-align:right; margin: 0 5px;}.lo { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle;}.li { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle; line-height:100%; margin: 0 5px 0 0;}.ls { font-family:serif; font-size:120%; line-height:100%;}.fb {border-style:solid;border-width:1px 0 0 0;margin:1px 0;}.fo {display:inline-block;text-align:center;vertical-align:middle;white-space: nowrap;}.fo span {margin: 0 3px;}.fo span span {margin: 0 0;}.article table {white-space: nowrap;}.ro{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:100%;position:static;}.rt{font-family: 'Meiryo', 'YuGothic', 'Gothic', sans-serif;}.ri{display:inherit;border-style:solid;border-width:1px 0 0 0;padding:0 1px 0 1px;margin:1px 0 0 0;position:relative; left:-1.5px;}article table {margin-bottom: 0 !important;}article table td {white-space: nowrap;text-align: center;}
