「場合の数」は、中学受験算数の頻出分野の一つで、特に難関中学では合否を分ける大事な分野になります。
ですが、経験上、模試や塾のテストでの正答率は高くなく、場合の数を苦手としている受験生は多いように思います。
塾では順列や組み合せの公式を教わりますが、実際の入試では公式をそのままあてはめて解くような問題は出ません。
実際に手を動かして試行錯誤し、そこから特定のパターンの繰り返しに気付くプロセスも重要です。
慣れると、最小限の「書き出し」で効率よく計算で求めることができるようになると思います。
例えば、ある年の御三家で出題された次の問題を考えるとそれがよくわかります。
問題：
赤球、青球、黄球が２個ずつ６個あります。
同じ色の球が隣り合わないように６個すべてを左から右へ一列に並べます。
このような並べ方は何通りあるか答えなさい。
公式だけ覚えていても思考停止してしまうと思います。
赤、青、黄の球が同数なので、赤が一番左にくる場合だけを考えればよく、それを3倍したものが答えになります。
色を替えても全く同じ結果になるからです。
一番左に赤を入れると、左から二番目には青か黄が入ることになりますが、ここも青の場合だけ調べて、2倍すればOKです。
色を変えても全く同じ結果になるからです。
赤→青に続く4つの球の並びを書き出していくと、以下になります。
（本当は全て書きださなくてもいいのですが、大した作業ではありませんので）
赤 黄 青 黄
黄 赤 青 黄
黄 赤 黄 青
黄 青 赤 黄
黄 青 黄 赤
なので、5×2×3＝30 通りが答えになります。
決して難しくはないものの、条件に従って正確に書き出すことと、対称性を使って効率よく計算することの両方がうまくできないと限られた時間内に正解できません。
たかだか30通りしかないので根性で書き出しても正解できそうですが、書いているうちに漏れたり重複したりして途中で間違えるリスクが高いです。
もう1色増えたら手に負えません。
ちなみに、この問題は別解も考えられます。
まず先に、2種類の球を並べます。
赤と青の2種類を使ってみます。
左端が赤でスタートした場合だけ考えればOKで、これを2倍すればいいです。
色を変えても同じ結果になるからです。
① 赤 赤 青 青
② 赤 青 赤 青
③ 赤 青 青 赤
次に、この中に黄の球を入れていくことを考えます。
このとき同じ色が並んでいる場合には、その間に入れるようにします。
①は、赤と青が並んでいるので、それぞれの間に黄を入れるしかなく、1通りのみ。
②は、両端を含む4つの球の間、つまり5か所の中から2つ選んで入れるので10通り。
③は、まず青が並んでいる間に1個いれ、残りが4か所なので4通り。
最後にこれを全部足したものを2倍すると、さっきと同じ答えになります。
場合の数は、特に慣れが必要なので、できるだけいろいろなパターンを実際に解いてみて、体感するのが効果的だと思います。
場合の数だけまとめた問題集もあるので、こうしたものを利用して集中的に訓練するのもよいと思います。
