4年のゼミでの質問

ゼミの予習をしている学生から質問されました．

Xを集合，dを集合Xの距離とする．　f:X→Xが距離を保つならばfは全単射である．

これは正しいでしょうか？教科書には「明らかに正しい」と書いてありましたが・・・ちなみに距離を保つとは

「距離を保つ⇔任意のP,Qに対して，d(P,Q)=d(f(P),f(Q))」

ということです．これだけだと反例つくれますよね．（でも実は自信ないです．教科書にも明らかって書いてあるし．）完備距離空間ならいえますよね．