日本の教育制度では、小学校で算数を学び、中学校では数学を学習するようになっていますが、義務教育でも
■ 代数学
■ 幾何学
■ 解析学
の分野を学習することになります。現在のカリキュラムでは、データの解析を行う解析学のボリュームが増えているので 【 データの活用 】 と言うカリキュラムも追加されていますが、現在は、データ解析を行うためのものが増えています。
20世紀の学校のカリキュラムでも小学校高学年ではグラフは扱っているので、
■ 棒グラフ
■ 円グラフ
■ 折れ線グラフ
のようなものを扱っていますが、これに加えて、
■ ヒストグラム
■ 箱ひげ図
なども学習します。こうしたグラフは帳票の数値を具象化して表記したものになりますが、基本的に
■ 帳票
■ グラフ
は相互変換が行えるようになっています。
小学校のカリキュラムでは中学校で学習するカリキュラムの下準備のような物が用意されているので、高学年になると
■ 様々なグラフ
■ 平均値
■ 集計
■ 数列
■ 比例・反比例
などを学習しますが、データとしての認識までは踏み込まないものの
■ 面積
■ 体積
を扱います。高学年になると 【 データの集合 】 を扱うことになりますが、この時に
■ データの集まりの法則性を知る
■ 法則性をグラフで示す方法
という事を行いますが、数列では、数の集合の法則性を見つける方法を学習しますが、比例は法則性をグラフにする方法を学習します。
データの値をグラフにすると言う作業は学校のカリキュラムだと理科のカリキュラムでも行いますが、その処理を行う際の帳票とグラフの相互変換の方法を学校教育では学習することになります。
そして、中学校一年生になると 【 穴埋め問題 】 のように 【 値の入っていない構造 】 の数式を扱うことになりますが、小学校とは事なり、この構造のものには変数項を用いて表記を刷るようになります。
穴埋め問題の場合、□があり、その中に値を入れるようになっていますが、小学校の算数だと、
【答えが出るもの 】
を扱っていますから、
・ □＋２＝６
・ □ー２＝６
・ □×２＝６
・ □÷２＝６
のような形になります。この場合、
・ ４＋２＝６
・ ８ー２＝６
・ ３×２＝６
・ １２÷２＝６
のようになりますが、これらをアルファベットを使用して
・ ａ＋２＝６
・ ｂー２＝６
・ ｃ×２＝６
・ ｄ÷２＝６
のようにしたものが変数校を使用した式になります。この場合、左辺を変数だけにすればいいので、数式の構造を相殺するような処理を両辺に追加すればいいので、
・ ａ＋２（ー２）＝６（ー２）
・ ｂー２（＋２）＝６（＋２）
・ ｃ×２（÷２）＝６（÷２）
・ ｄ÷２（×２）＝６（×２）
のような処理を行うことで、結果を求めることが出来ます。
このような方法で変数項の値を求める方法を 【 方程式 】 のカリキュラムで学習することになります。
方程式は、
■ 法則性
■ 結果
があり、これが小学校の算数のように投資機で結ばれているわけですが、穴埋め問題のように 【 解らない数値が存在する 】 ので、これを式の変形によって解を求める方法を学習することになります。
方程式は 【 特定の値の時に決まった値になる 】 と言う特性がありますが、小学校六年生の算数では、
■ 正比例
■ 反比例
のように 【 値が変わると結果が変わる 】 物を扱います。これが、 【 法則性の中の値の変化 】 になります。
この場合、値が決まっている場合には法則性から計算結果を求めることが出来ますが、この時に使用している処理を数式に置き換えて行っているのが 【 方程式 】 になります。
中学校の数学では、【 関数 】 を学習しますが、これが比例や反比例のような 【 法則性を扱うもの 】 になります。方程式は、
・ □＋２＝６
のような構造ですが、比例や反比例の場合、
・ □＋２＝○
のようになっているので、○に当てはまる値は□の値で変化します。これが、正比例や反比例の構造になりますが、グラフで扱う場合には、座標軸の値で示したほうがいいので、この図形の部分を変数項に置き換えることになります。そうすると、
■ ｘ ： 数式で使用する座標
■ ｙ ： 法則性を用いた時の結果
になりますから、
・ ｘ＋２＝ｙ
となります。数学では、解の方を先に書くので
・ ｙ＝ｘ＋２
のような形になりますが、基本的に
【 方程式の構造 】
・ □＋２＝６
【 一次関数の構造 】
・ □＋２＝○
なので、この構造を数式として扱いやすくしたものが、方程式と一次関数になります。
そして、方程式や関数を学習する前に
■ 符号
■ 項
を学習するので、中学校で登場する数式は加算の構造で構築されたものになっています。この作りに出来るので、値として使用する変数項目に
■ 減算 ： 符号
■ 乗算 ： 係数
■ 除算 ： 分母（係数の一種）
■ 累乗 ： 指数
の要素を追加してその結果動詞を加算していくような処理になっています。当然、この構造にすると、変数項の構造は、関数のような作りになりますから、変数項を加算していくと
【 関数の法則性を加算したもの 】
と同じ構造になります。
一次関数の法則性は、
【 一次関数の公式 】
・ ｙ＝ａｘ＋ｂ
なので、それぞれの項目は
■ ｙ ： 解
■ ａ ： 係数
■ ｘ ： 式の中の変数
■ b ： y切片
となります。この公式の構造は、
■ 法則性のグラフ
■ 定数のグラフ
になりますから、
【 関数のグラフを定数でお仕上げた構造 】
になります。その為、定数分だけグラフが上下動するようになっているわけですが、これが
【 関数同士を加算した時の挙動 】
になります。この関数＋定数の構造はどの関数でも使用できますから、分数関数や二次関数でも使用できますが、関数の構造は、 【 ｙ＝ｘ 】 という数直線上の目盛りのような構造があり、この状態に対して法則性を追加することで、結果の変化を与えることが出来るようになっています。
この構造で関数を理解すると中学校の数学の知識でも様々なグラフを作ることが出来るようになりますし、異なる関数がどのような仕組みなのかをイメージしやすくなります。一次関数は符号を使用できるので、
■ 符号なし ： 加算
■ 符号あり ： 減算
と考えることが可能で、ここに九九のような変化が生じるので、この構造物に対して係数が追加されます。これが
■ 係数 ： 乗算
になりますから、この行蔵を用いることで傾きの変化を追加することが出来ます。この時に、
■ 乗算 ： 通常の数値が係数
■ 除算 ： 数値の逆数が係数
として追加することが出来るので、傾きの状態を係数の種類で変更できます。
■ 係数が倍数 ： 傾きが急になる
■ 係数が分数 ： 傾きが緩やかになる
ことになります。傾きは 【 ｙ/ｘ 】 なので、
■ 係数が倍数 ： ｙ＞ｘになる
■ 係数が分数 ： ｙ＜ｘになる
ので、係数の状態の変化でグラフの傾きも変化するようになっています。
中学校以降の数学では割り算の記号の 【 ÷ 】 を使用する機会が減るかわりに 【 分数を使う頻度が増える 】 ようになっています。
また、推移を扱う際には 【 最小単位の推移 】 を扱うことになりますかrあ、この状態に落とし込むと幾何ベクトルのような構造のものが出てきますから、実質的に曲線内2つの交点を持つ一次関数を用意した状態と同じになります。
学校のカリキュラムは、高校までは
■ 学習指導要領
■ 教科書検定を通過した教科書
を用いるので、基本的に 【 どこに入ってもカリキュラム自体は指定されている 】 ので、学校によってカリキュラムの進行速度などは異なりますが、偏差値の高い学校だから特殊なことを行っているわけではありません。
そうした特色が出てくるのは、大学や専門学校になりますから、高校の場合だと、基本となるカリキュラムが存在しており、普通科だと必修科目を必ず行うようになっているわけですが、それ以外で選択科目を選んでいくことになります。
高校で就職する目的の学校の場合だと、カリキュラムが決まっているので、普通科で行わないカリキュラムが用意されている変わりに、一般科目の選択肢が少なくなっています。
ちなみに、大学入試の数学のカリキュラムだと
■ 数学I
■ 数学II
■ 数学A
■ 数学Ｂ
が必要になりますから、必修科目の義務のある数学Iだけしか選択していない場合だと、文系の学校でも共通テストで対処できなくなります。
また、芸術系の学校である
■ 美大
■ 音大
■ 芸大
あたりでも
■ 国語
■ 英語
■ 論文
辺りは必要になるので、文章が書けず、語学が怪しい場合だと技量が高くても合格することは出来ません。
こうした理由から、ごく当たり前な一般的な国立大学などを選択する場合だと、数学の選択肢も受験に対応できるものを選んでおく必要があります。
来年から共通テストのカリキュラムも変わるので、新カリキュラムでの対策が必要になりますが、これについては、
でも紹介されています。大学のランクや受験については、現実と乖離した内容が吹聴されているので噂話を信じると酷いことになるので、正しい情報を得て対策を寝る必要がありますが、5年くらい前の教育制度改革のカリキュラムが正式に実施され始めてからの内容が共通テストにも反映されるようになっています。
その為、ここ数年のカリキュラムについては、昔のカリキュラムとは異なるので、受験する時の内容に合わせた対策が必要になります。
また、そういった学習を行う場合には、過去問題を解いてみて傾向や難易度を理解しておくほうがいいのですが、こうした問題は、大学入試センターで無償配布されているので、PDFをダウンロードすることである程度の傾向を知ることも出来ます。
教育制度改革語は、数学Bの 【 統計的な推測 】 の中で 【 仮説検定 】 が含まえれているので、現在のカリキュラムでは、過去の大学で学習しているような内容を高校で扱うようになっています。その為、ベクトルや複素数などが数学Cに移動しているのですが、こうしたカリキュラムは、教育制度改革前には存在していないので、その時代の入試対策では全く行っていないものになります。
この辺りは、現在の中学校で行っている四分位を使用した【 箱ひげ図 】 も同様ですが、現在のカリキュラムは昔は存在しなかった高度なものが進学前のカリキュラムとして含まれています。
処理と関連性
現在の高校のカリキュラムでは、情報Iが存在するので、処理を考える上では 【 論理ゲート 】 を使うことになります。この構造物は、
【 トランジスタで得作ることが出来る 】
のですが、コンピューターはトランジスタなどのパーツを構成した物を集積化したLSIを生成し、それを膨大な数でシステムを作った構造のもので処理を行っているので、スイッチではなくコードで処理を行う仕組みになっています。
コンピューターの基本構造はトランジスタなどを使用したアナログ回路なので、通電の有無で動いているような状態になりますが、オルゴールと同じように一つの通電の有無では、一つの処理しか出来ません。その為、並列化を刷ることになりますが、この膨大な０と１の組み合わせで動作する仕組みになっているので、コンピューターは二値の処理で動作しています。
基本的にコンピューターは判定を行う機材を集めた構造になっているので、スイッチが大量に存在しており、それをコントロールしている状態になっています。
この状態だと計算できないので、記録を行うことになりますが、この時に一時記憶領域を用意して動かす使用になっています。この構造だと簡素な処理を刷る楮になりますから、速い処理に対応しなければなりませんから、実装した処理を繰り返して実行する必要があります。その為、オンとオフを切り替えながら実行する必要があるので、周期を持って動作する仕組みになっています。
スイッチについては、断線した回路に接点を用意してその接点の状態でコントロールできますが、この状態だと人が操作する必要があります。
しかし、この方法だと判定を自動処理の中に自走できないので、回路の中で動作させる必要があります。この時に使用するのがトランジスタになります。半導体のない時代にはリレーという電磁石を使用していた時代もありますが、判定を包含することで人の操作以外で条件によって異なる動作を刷る構造物を作ることが出来ます。
この時に使用する基本モジュールがトランジスタなので、これを組み合わせることで論理ゲートを作成して判定を作ることになります。回路を組む場合にはでは、動作する際にしか通電しない仕組みのMOS構造にしたものを使用しますが、これがイメージセンサーなどでも見かけるCMOSなどのパーツになります。この構造は直列と並列の構造でP型とN型の半導体が使用されていますが、この構造が論理ゲートのandとorになります。トランジスタを使用してNANDゲートを作る際には、MOS構造にしますが、トランジスタFETですからこのパーツのことをMOSFETと言います。
また、ブール代数やド・モルガンの法則から、
■ 論理積 ： AND
■ 論理和 ： OR
■ 論理否定 ： NOT
があれば、全ての回路を作ることが出来ます。NANDの場合、AND要素がNOTに付与されているので、1入力にするとNOTゲートになります。
これを作ると、NANDの出力を反転させることでANDゲートにできるので、これでANDとNOTを作ることが出来ます。
ORゲートについては、入力を反転させるとORになるので、NANDゲートを用意して接続方法を変更するだけで基本となる３つの判定を実装することが出来ます。
真理値表を見ると 【 AND≒NOR 】 になりますが、基本のモジュールを作っておけば、XORなども作ることが出来ます。論理回路では、
のようなキゴウを使用しますが、この構造も
のような作りで再現できます。ANDとORについては、
のように出来ますが、
■ 直列回路 ： AND
■ 並列回路 ： OR
のような仕組みになります。NOTの場合だと、
のような構造になりますが、これが基本構造になるので、スイッチの場所をトランジスタに変更するだけでそれぞれの回路を組むことが出来ます。これを見ると、並列や直列と言う組み合わせが、 【 論理ゲート 】 担っていることが確認できると思いますが、MOSFETではANDとORの構造でトランジスタが配置されています。
論理ゲートについては、
の中で触れていますが、動作するものを作る際の判定部分を作る際にこうした物を用いることになります。
ANDとORについては、
【 複数の物を組み合わせた時の判定 】
になっていますが、論理ゲートはそうした判定を行うものなので、【 ２つの結果の組み合わせによる判定 】 を行うものになります。この時に二値を使用しますが、NOTゲートだけは異なる使用になっています。
NOTゲートは、 【 入力の状態の反転 】 で使用するので、単独で動作するので、出力結果の状態に対して実装します。信号には、
■ 通常
■ 反転
が存在しますが、この２つは、
■ 通常 ： バッファー
■ 反転 ： インバーター
で区別することが出来ます。論理ゲートの記号を見ると
のようになっていますが、
と考えることが出来ます。この２つを見るとNOTは先端に○がついていますが、この記号が反転の印になります。
NOT回路は電線のように変化のないものを反転させるので、記号の形もバッファーに反転の印がついた構造になっています。その為、
■ NAND
■ NOR
などの記号もANDやORの出力のラインの前に○がついた形になっています。論理回路の記号を覚える場合、反転していないものを覚えて、その逆の振る舞いを刷るものには○がつくと覚えると覚える物の数を少なく出来ます。
ブール代数
回路は論理回路を記号で示すことも出来ますが、この時の処理を代数の形で示すことが出来ます。これが、ブール代数になりますが、この場合、
の記号は、
のように示すことが出来ます。論理ゲートは
のような表記ができますが、これを使うと
のような回路は、
のように示すことが出来ます。ここまでは判定で使用する記号ですが、論理積と論理和は 【 判定後の計算結果 】 の名称になっているので、処理の内容を見ると、
のように扱うことが出来ます。その為、
のように論理積は乗算の結果になるので、記述を刷る時には、乗算の形になり、論理和は、
のような形で示すことが出来ます。
基本的となる３つの判定は上にバーを配置した状態で反転が可能で、処理については、加算と乗算で処理が出来ます。
確率と考え方
中学校の数学では、
■ 確率
■ 組み合わせ
を学習しますが、この中の確率の計算方法も条件で見てみると論理積が使用されていることがわかります。
例えば、サイコロを振った時の確率は１/6ですが、
【 ２回振って２度とも６になる確率 】
はかなり低くなります。
この場合、６×２が分母で１/１２ではなく、
一回目 ： １/６で6が出る
ニ回目 ： １/６で6が出る
ですから、判定を行うと
【 一回目 ∧ 二回目 】
となります。ということは論理積ですから、記号を演算記号に置き換えると
【 一回目 ・ 二回目 】
になります。これを値に置き換えると、
【 １/６ ・ １/６ 】
となるので、この時の確率は 【 １/３６ 】 になります。
このように 【 同じ状態が複数回発生する 】 尾という事象は発生確率が低くなるという至極当然な内容が存在しているわけですが、知識や能力で保管できるものを運任せにすると実現不可能なものになってしまうことがあります。
例えば、【 計算結果が１〜１０の範囲 】 と言う条件をつけて、その範囲になるような２つの定数項を用いた加算を行う多項式を用意したとします。
この問題を１０問用意した場合、大人であれば殆どの人が全問正解すると思います。また、これに要する時間もそれほど長くならないはずです。
これは、応用問題ではなく数式としての出題であるという条件で考えることになりますが、
■ 問題を見る
■ 理解する
■ 計算刷る
■ 答えを書く
という工程が発生します。この時にかかる時間を10倍にしたものが全ての問題を解くまでにかかる時間になります。
少なくとも、此の時の時間が数年に達することはありませんが、これを運任せにすると計算では考えられないような時間がかかることになります。
この課題では、 【 １〜１０の値 】 の中に正解があるので、 【 十面体 】 を使うと１/１０の確率で正解を引く事が出来ます。
確率の知識がない場合、このダイスを使って１０問の問題で正解が出る確率を論理和で算出できると履き違えることがあるので、１/１００と言う誤った認識に至る事があります。
前述の通り、１/１０の確率の物を使用して１/１００になる状態は、2つの値が揃う確率ですから、此の皮算用は間違っているわけですが、J司祭には、論理積での判定なので、
【 １０の１０乗 】 が分母になった確率
になります。つまり、 【 1/10,000,000,000 】 と言う実現不可能な確率になってしまいます。
この課題は 【 小学校１年制の算数のテスト相当 】 の難易度ですから、まかり間違ってもこんな実現不能な確率になることはないので、運任せやダイスに依存するというのが実現可能なものを実現不能にする行為であることを示しています。
例えば、ダイスを振って１問解くのに１分かかったとします。これを年間換算すると、
■ ６０分
■ ２４時間
■ ３６５日
と言う数値をかけ合わせたものを使用することになりますから、 【 525,600（分） 】 というもので割ることで年換算ができるようになります。この対象物が、１０の１０乗ですから、 【 10,000,000,000（分） 】 なので、これを年で換算すると
（10^10)/(60*24*365) = 19,025.8751903
になるので、小学校１年制の算数のテストで１００点取るのに【 1.9万年強 】 かかることになります。
これは、
【 24時間365日、無休でサイコロを振って回答する 】
と言う条件ですから、12時間動いて12時間休むと言う状態で行った場合には、 【 3.8万年強かかる 】 ことになります。
人の寿命はどれだけ頑張っても150年未満ですから、此の条件で考えると、実現不能であることがわかります。
このように物事を行う際には確率を持ち引き出すことが出来るので、確率を出してみると知識の欠如が無駄を生むことが証明されていることがわかります。
また、解析を行う場合には、確率を用いることもありますが、此の確率も乱数や分布で使用するので、数値を扱う際では必要なものになります。
また、確率を考える場合、
【 条件の組み合わせ 】
が存在しているので、対象の条件で処理が変わってきますが、確率を出す場合には 【 対象で実装すべき判定 】 に着目すると論理ゲートでの判定で対象を見ることが出来ます。
こうした確率の基礎を踏まえた上で仮説検定などを学習することになりますが、仮説検定は応用分野なので、基礎の上に成り立っていますから、基本となるのは義務教育で学習する確率の計算方法になります。