■　積分の仕組み　【　EDUCATION　】

　高校の数学では微積分が登場しますが、2022年に教育制度改革がありましたが、この分野はそのまま維持されています。

　積分は、ざっくりというと面積なんですがグラフ内の図形の面積を簡単に出せる仕様のものになっています。

　図形の関しては小学校の算数でも扱いますが、この時に

　　■　面積
　　■　体積

を扱います。異なる図形でも面積や体積が同じだと同じ大きさになりますが、この時の　【　大きさ　】　も数値で示したものになりますから、これは、　【　データの塊　】　になります。これを一つの定数項で示したものが、図形の場合、面積や体積を算出すると

　　■　正方形
　　■　立方体

のように辺の長さが等しい形状にできますから、

　　■　面積　：　平方根
　　■　体積　：　立方根

を用いると一辺の長さが決まった正方形や立方体としてデータを考えることが出来るわけです。

　義務教育ではデータと言う概念がイメージしにくいかも知れませんが、面積や体積も　【　範囲指定されたデータの一種　】　なので、変形や加工などが行えるようになっています。例えば、立方体の面の面積た欲しい場合、高さのデータは必要ありませんから、この場合、次元を削減して二次元のデータで考えると簡単に面積を出すkとが出来ます。これと同様に立方体で高さのデータのみが必要な場合、面のデータは必要ありませんから、次元を削減して一次元にすることでデータの抽出を行うことが出来ます。

　この次元への着目はしていないものの義務教育のカリキュラムではこれを当たり前に行っていますが、データの管理をする場合には、この処理は　【　次元の削減　】　で成立していることになります。

　こうしたデータを扱う場合、正方形のような簡単な形状だと問題なくデータの総数を算出できますが、現実世界の図形は複雑な形をしています。これを求める時に義務教育までの考え方だと、

　　■　図形の特徴で分割
　　■　個別の面積を算出
　　■　合成

と言う形で行いますが、積分を使用するともう少し簡素な方法で処理を行うことが出来ます。

積分の仕様

　積分の最初の部分では、座標平面上の図形を使うことになりますから、中学校の数学で行った関数の範囲指定で浮かび上がる図形の面積の算出の延長線上のものになります。中学校の数学だと座標軸で三角形を作ってその面積を出すカリキュラムがありますが、積分でも関数を用意してX軸を底辺として図形として扱います。

　この時お図形が線形だと三角形になりますが、これが非線形だと中学校のカリキュラムのようには行きませんから、少し考え方を変える必要があります。例えば、符号のついた二次関数を用意した場合、ボールを投げたときのような放物線をX軸で仕切ったような図形がでますが、この時のデータの範囲は

　　■　最小値のｘ軸との接点
　　■　最大値のｘ軸との接点

となります。微分とは異なりますが、ｘ軸で底辺を指定しているので最小と最大の部分に接点が生じることになります。

　積分ではこの範囲のデータをサンプリングをして取得するという考え方になっているのですが、この時に謎の形状を使用しても計算できなくなりますから、確実に計算が行える　【　矩形　】　を用いることになります。

　例えば、

のような符号をつけた二次関数を用意した場合、x軸を底辺とすると図形が出来上がりますが、これを矩形で埋め尽くす場合、

のような状態になります。つまり、ヒストグラムのように矩形でっ隙間を埋めていくことになりますが、この時の矩形のサイズが小さくなるほど曲線の再現度が高くなります。

　この考え方は、音声のA/D変換をする際の標本化と量子化の処理に似ているのですが、アナログの音声は時間と振幅の構造になっていますから、デジタルの場合だとこれを

　　■　サンプリング周波数
　　■　量子化ビット数

と言うに軸のデータの座標に変換することになります。と言ってもデジタルは二値なので、床関数や天井関数のように整数座標になりますから、　【　１の個数でデータが構成されている　】　ので階調を細かくする必要があります。積分の考え方も、これと同じでサンプリング数を増やせば局面で構成された形状の再現が出来るので複雑な形状の面積を出すことが出来ます。

　この形状で考えると、始点と終点があってその間を補間する仕様になっていますから、

　　■　ａ点
　　■　ｂ点

の間であることを明記してその処理を記述することになります。積分では、データの範囲を指定することになりますから、X軸方向のデータの範囲を指定します。

　つまり、【　不等式による範囲指定　】　をすることでデータの範囲の指定が出来るようになっています。

　これは一次元での指定ですから、　【　一次元での変域の指定　】　を行っているのと同じ状態になりますが、これを行うことでデータの範囲の指定を行います。

　積分については、

のような関数を用意して図形にする必要がありますから、この部分は上限になります。

　中学校の数学でも

　　■　一次関数

　　■　二次関数

を使って範囲選択をする方法を学びますし、図形の面積や一次関数を回転軸にして生成された円錐の体積を出すカリキュラムがあります。これは

　　■　下限となる関数

　　■　上限となる関数

の組み合わせで　【　範囲指定　】　を行っている状態なので、これは一次関数のカリキュラムで　【　変域　】　を学習しますが、このカリキュラムでは　【　座標　】　という定数を使用していました。定数はグラフにすると　【　値は常に一定　】　なので座標軸と平行なラインが生成されるので、座標の値で変域を指定すると矩形が生成されます。これを座標平面で適応していますから、

　　■　ｘ軸の範囲

　　■　ｙ軸の範囲

をそれぞれ　【　一次元の変域　】　で指定しているのですが、これを集合演算で組み合わせて条件で抽出を行っているので、矩形の範囲が選択できるようになっています。

　これと同じように座標平面上で　【　図形　】　を生成する場合には単位円などのように　【　等式　】　の形で線分の形で生成するものもありますが、　【　面積　】　のような範囲の場合だと、　【　不等式　】　で指定します。

　この辺りは中学校のカリキュラムと同じですが、

の関数をｘ軸を底辺として使用する場合には、

のような形になります。この時の図形は

　　■　下限　：　ｘ＝０

　　■　上限　：　ｆ（ｘ）

となるので、データで考えると

　　０　≦　ｙ　≦　ｆ（ｘ）

のような形になります。このｆ（ｘ）は関数ですから、任意の関数の法則性を数式で代入できますが、不等式で指定することで線分という座標データの位置データではなくデータの範囲を指定することができます。

　では、この状態で、面積を出すことになりますが、グラフは　【　ｙ軸に追加した値に層をもたせたもの　】　ですから、座標だと線分になり、範囲だと面画生成されます。これを二変数関数のように多次元化した場合には立体になりますが、不等式にした場合には、ｘの値が確定している場合には数値の範囲を格納することが出来ます。この構造物に極弁レベルでの推移を与えて層をもたせると面になるわけですが、先程の条件で放物線の面積を出そうと思うと、ｘ軸の座標の範囲の指定をすることになります。この時に

　　■　最小値　：　ａ

　　■　最大値　：　ｂ

とすると

のようになります。こうすることで

の範囲の面積を示すことが出来るわけです。

積分の記述

　前述のように

のような形状のサンプリングを行う場合、ｘ軸方向の範囲でサンプリングを行うことになりますから、

のように始点と終点を用意する必要があります。

　中学校までの数学ではこの状態を示すことが出来ないので、これを一つにまとめて表記する方法を考える必要があります。

　積分では、この状態を　【　∫（インテグラル）　】　を用いてまとめることが出来るようになっているので、

のような狂気にすることで、

の状態の　【　ａ点〜b点までの範囲　】　を指定することが出来ます。

　これは、ｘ軸の範囲なので、　【　一次元の変域　】　を示しただけですから対象を明確にする必要があるので、対象となる関数を指定することになります。関数は

のグラフ部分ですから、これを追加して

のようにすることで、

のようにグラフに対してサンプリングを行う範囲を指定したことになります。

　積分は音のA/D変換と同じで、

　　■　標本化

　　■　量子化

　　■　符号化

の時に使用する【　小数点座標を整数座標で考える　】ような処理を行うことになりますが、積分では、

のような矩形を敷き詰めていくことで形状を再現するのでこの要素を式に包含する必要があります。その為、積分の公式は

のようになります。これが、座標平面上の面積を出す方法になりますが、積分の構造は

　　■　等式

　　■　不等式

で構成されているのですが、

　　■　図形を示す関数

　　■　範囲指定を行う一次元の変域

で状態を指定して、その構造を微細な矩形による整数補間によって形を構成していくと言う考え方にないrます。

　データは

尿に全てを選択する場合もありますが、範囲選択を行って特定の部分を使う事もあります。積分ではこれをｘ軸の変域で指定しているので、範囲が変わるとａとｂの座標も変化します。

不等式

　不等式は不等号を使用した式なので、これは、範囲指定になります。不等号は小学校の算数で登場しますが、中学校の数学では、これを座標平面に適応することで図形にして使用する事を学習することになります。これにより実際に範囲が生じているので、

　【　座標平面の範囲指定をして塗りつぶす　】

ような処理になりますが、これが不等式を使った時の状態になります。美術で考えると、

　　■　等式　　：　線画

　　■　不等式　：　面塗り

のような違いがあるわけですが、これを数式で使い分けることで

　　■　座標　：　等式

　　■　範囲　：　不等式

で扱えるようになります。それぞれを比較すると

　　■　等式　　：　ｘ＝１

　　■　不等式　：　ｘ＞１

のようになります。この辺りは小学校でも扱いますが、

　　■　等式　　：　値が決まっている

　　■　不等式　：　値に範囲がある

と言う明確な違いが生じているので、ここを覚えておくと理解を深めやすいと思います。

不等号の考え方

　等号は数学的には一致を示しているので、必ず一致する条件を最初に扱います。というのも、

　　■　近似

　　■　類似

は一致とは異なるので、一致とい動く当たり前な概念を理解することになります。現実世界における０の判定を行う時に　【　一致　】　の条件が理解できていないとスタートラインにも立てないので、そうならないように算数では等式の形で数式を扱うことになります。

　電気の場合、オフの判定をすれば、NOTゲートでこの逆の条件の判定をすれば、オンの状態を検知できるので、０の検知を行えば、それ以外の条件であれば１を検知することが出来ます。この１の条件に階調を持たせると電圧の変化などを扱うkと尾が出来るので、数学的にも確実に単数として扱うことが可能で　【　誤差の概念がないオフの概念　】　を投資機で判定をすることで　【　通電の状態を検知できる　】　わけです。

　これが等式の考え方になりますが、小学校のような整数座標だと一つの値を取得する際には、　【　上限と下限を不要号で指定すると一つの値を取得できる　】　ようになっています。その為、小数点数の存在しない整数座標を扱えば、不等式で範囲指定をすれば　【　単一の値　】　を取得できるわけです。これはデジタルのように１の集合体だとごく当たり前に行えるのですが、

　　■　以上

　　■　未満

で判定を行うと値の取得が出来ます。その為、マインクラフトでも　【　比較演算子　】　の構造で回路を作ると